量子习题课三.PPTVIP

习题课三 1. 守恒量 2. Virial定理 若 则 4. 守恒量与对称性 平移不变性 空间转动不变性 3. Feynman-Hellmann定理 (对定态求平均) (对束缚态能级和波函数) 4. 全同粒子 全同性原理： 全同粒子不可区分 全同粒子的波函数 5. 中心力场问题 能量本征方程 径向波函数满足的方程 or 6. 典型中心力场问题的求解 (1) 无限深球方势阱(l=0) (2) 三维各向同性谐振子(球坐标与直角坐标下求解) 能级 简并度 (3)氢原子问题 本征函数 能级 简并度 4.2 解： (a) 两全同波色子 单粒子态 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 分布 (b) 两个全同费米子 单粒子态 0 1 1 1 0 1 1 1 0 分布 (c) 两个不同粒子 单粒子态 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 分布 4.3 解： 设粒子的总数为n，量子态的总数为k. 首先对n 个粒子进行编号 (1)粒子可以分辨 每个粒子占据量子态的方式有k种，则n个粒子占据量子态的 方式（量子态数目）有 若k=3, n=2, 则有 若k=3, n=3, 则有 (2) 粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制，波函数对称 1 2 3 4 量子态总数 若k=3, n=2, 则有 若k=3, n=3, 则有 (3) 粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（kn） 若k=3, n=2, 则有 若k=3, n=3, 则有 量子态总数 4.4 证明： 对于不含时间的力学量A 有 对上式再求导数得 即 4.5 证明： 4.6 证明： 则 对于波函数 4.7 证明：对束缚态能级和波函数有 则 4.8 证明： 由Heisenberg方程知 能量本征方程是 其共轭方程为 则 其中 4.9 证明： 由海森堡方程得到 在能量表象下取矩阵元得 基本对易关系 在能量本征态下取平均值得 则 4.10 证明： 因为F, H是厄米算符，则有 (1)取厄米共轭得 (1)+(2)得到 5.1 证明：由 则相对动量是 总动量是 因此总角动量是 总动能是 5.2 解： 5.3 解: (a) 电子偶素的约化质量为 此体系的能谱为 (b) μ原子中μ子的质量为 原子核的质量为M,则约化质量为 体系的能谱为 (c)μ子偶素的约化质量为 其能谱为 5.4 解: 氢原子基态的波函数是 显然有 而 由位力定理知 又在基态有 则 即 由基态波函数的球对称性得到 则 5.5 解:　氢原子的基态波函数是 基态能量 势能 经典禁区 即 因此电子处于经典禁区的概率是 5.6 解:　类氢离子的波函数为 (a) 最可及半径由下列条件确定 对圆轨道有: l=n-1, nr=0, 则 求导数后可得 详细推导过程 径向方程 令 则 园轨道 径向概率分布为 则其径向概率分布为 类氢离子的径向波函数是 其中 合流超几何函数是 即 则园轨道的径向概率分布为 由 得 注： (b) 类氢原子的能级 可利用 直接进行计算求解 5.7 证明：已知中心力场中粒子的径向方程是 三维各向同性谐振子得能级为 取l为参量，由Feynman-Hellmann定理 得 即 三维各向同性谐振子得哈密顿为 由Virial定理知 在定态下两边取平均得 则 所以