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第23卷第6期 大 学 数 学 VoI．23。№．6 2007年 12月 C()I I EGE MATHEMATICS Dec．2007 复函数奇偶性判定的几个充分必要条件 谭福锦 (广西民族学院计算机与信息科学学院，南宁 530006) [摘 要]研究复函数奇偶性的判定方法，得出了几个充分必要条件，可为此类函数的运算和进一步的分 析研究提供有用的参考． [关键词]复函数；奇偶性；判定；充分必要条件 [中图分类号]O1 74．5 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2007)06—0170—04 1 引 言 有关实函数奇偶性存在的必要，充分和充分必要条件的研究已有了不少的结果，它们对实函数的运 算和理论分析无疑起到了重要的作用．但对于复函数奇偶性存在或判定的研究并不多见，也不深入．本 文旨在对复域上奇偶函数存在(或判定)的必要或充分必要等条件作一些研究，以期对此类函数的运算 和分析等方面提供一些有用的参考． 为便于讨论，先叙述如下几个定义． 类似于实一元奇(偶)函数的定义，给出以下实二元奇偶函数的定义． 定义1 设二元实函数“一“( ， )定义在平面区域D上，若对于V(．27， )ED，恒有“(一．27，一 ) 一一u(x， )(“(一 ，--y)一“( ， ))，则称“( ， )为区域D上的奇(偶)函数． 定义2 设D为复平面上的区域，厂( )是D上的复变函数． (i)若对V ZE D，恒有 厂(一 )=一厂( )，则称 厂( )为区域D上的奇函数； (ii)若对V ZE D，恒有 厂(一 )：厂( )，则称 厂( )为区域D上的偶函数． 引理_1 在整个平面上的任意亚纯函数必是两个整函数之商． 2 主要结果和证明 由复函数 厂( )的奇(偶)性定义2，不难得知： 区域D上的复函数叫一厂( )为奇(或偶)函数的必要条件是区域D关于Z平面的原点对称． 定理1 复函数叫一厂( )=“( ， )+iv(x， )在区域D上为奇(或偶)函数的充要条件是两个实二 元函数“( ， )和v(x， )在D上同为奇(或偶)函数． 证 设 = +iy，则一 一一 —i．y．以下仅就_厂( )为奇函数的情形证之，其余证法类似． 必要性．由 厂( )为区域D上的奇函数知，对于V ZE D，有_厂(一 )一一_厂( )．再由_厂( )一“( ， )+ iv(x，．y)把上式化为 “(一 ，--y)+iv(一 ，--y)一一[“( ， )+iv(．r， )]， ( ， )，(一 ，一 )∈D． 比较两边的实部和虚部，得 [收稿日期]2006—02—20 [基金项目]广西民族学院重点科研项目(0509ZD053)资助课题 第6期 谭福锦：复函数奇偶性判定的几个充分I必要条件 171 (一 ，一 )==二～u(x， )， u(一 ，一 )二==一v(x，y)． 由定义 1知，二元实函数u(x， )和v(x， )同为D上的奇函数． 充分性．由u(x， )和v(x， )同为D上的奇函数可知，对V( ， )∈D，恒有 (一 ，一 )一 ～u(x， )， u(～ ，一 )一一v(x， )． 此时有 (一 ，一 )+iv(～ ，一 )一一[“( ， )+iv(x， )]． 亦即 厂(一 )一一-厂( )(Z∈D)．故知-厂( )为D上的奇函数． ． 注1 利用这一结果对于判定形如-厂( )一“( ， )+iv(x， )的复函数的奇偶性时，可直接通过对 其实部函数u(s， )和虚部函数 v(x， )的奇偶性判别即可得出-厂( )的奇偶性的结果，是比较方便的． 定理2 设D为一包含原点的单连通对称区域．则上限积分的函数