高工数学第二章.pptVIP

第二章常微分方程——二阶常系数方程 一、 二阶常系数方程的解法 Solution of 2rd order equation with constant coefficients 1. 齐次方程通解（欧拉，1743；达朗贝尔，1766） Assume then 谢 谢 * * 高等工程数学(化工类) —— Advance Engineering Mathematics for Chemical Engineering 李 希 王丽军 化工类专业硕士研究生数学课程 第二章 常微分方程 Chapter 2 Ordinary Differential Equations 1、二阶线性常系数方程的解法 Solution of 2rd order equation with constant coefficients 2、二阶变系数方程的级数解法 Solution of 2rd order equation with variable coefficients 3、一阶微分方程组的矩阵解法 Matrix solution of 1st order differential equation system 4、线性稳定性问题分析 Linear stability analysis method 第二章常微分方程——基本概念 常微分方程 Ordinary differential equation 方程的解与阶 solution and order for a equation ——解析解，数值解 analytical, numerical 线性与非线性（与代数方程类比）linear, nonlinear ——叠加原理 superposition 齐次与非齐次（与代数方程类比） homogeneous and heterogeneous equations 常系数与变系数 constant and variable coefficients 第二章常微分方程——基本概念 求解历史 Historical milestones for solution 第一阶段 初等解法，1675-1775, rudimentary solution 初等方法求解，此后百年解法无进展 1841 Liouville 证明许多方程无初等解法 第二阶段 级数解法 series solutions 幂级数解法，1850-1890 power series Laplace变换法，1900-1920 Laplace transformation 第三阶段 定性理论与数值解法 稳定性理论 1900-1950，qualitative theory， 数值解法 1950- ，numerical methods 第二章常微分方程——二阶常系数方程 相异实根 different real roots 共轭复根 Conjugate complex roots 重根 repeated root 2. 非其次方程特解：比较系数法 第二章常微分方程——二阶变系数方程 二、 二阶变系数方程的解法 Series solution for 2rd order equation with variable coefficients 1、级数解法（G.Frobenius,1849-1917) 广义幂级数 代入方程，比较系数法确定参数c 和 an 第二章常微分方程——二阶变系数方程 设 代入，得 第二章常微分方程——二阶变系数方程 首项xc的系数为0——指标方程 index equation 第n项xn+c的系数为0 ——递推公式 recursion formula 第二章常微分方程——二阶变系数方程 由指标方程的第一根c = c1可以得到方程的第一个解 当c1－c2不为整数或0时，由常规方法可得第二解。 When c1－c2≠integer or zero, both solutions obtain normally 当c1、c2 为重根时，第二解为 solution for repeated roots 当c1－c2 为整数时，第二解为 solution for c1－c2=integer 第二章常微分方程——二阶变系数方程 推导：设 只满足递推公式(n≥1 )而不一定满足指标方程，将其代入方程后有 重根时y1 =y(x,c1)， 满足方程； c1－c2 =整数时y1 =y(