chapter33中心极限定理资料.ppt

例 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一盏 灯开灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼此 独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200 之间的概率. 解 例：某车间有200台车床，工作时每台有60%的时间在开动，每台开动时耗电1千瓦，问应供给这个车间多少千瓦的电力才能以99.9%的把握保证正常生产？ 解： 令应供电m千瓦，X为同时开动的车床数， X ~B(200, 0.6)， 由中心极限定理 例 于是 解 小结 中 心 极 限 定 理 注 作业 Ｔ２，Ｔ６ 某保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金，已知该市人员一年内发生生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险，问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元的概率是多少？ 解 X={一年内发生重大人身事故的人数} 则X～B（5000，0.005), np=25,np(1-p)=4.99 , 近似地, 一年的收益为 大数定律的背景和概念 大量随机试验中 1、大数定律的客观背景 例1、掷一颗均匀正六面体的骰子，出现1点的概率是1/6。但掷的次数少时，出现1点的频率可能与1/6相差较大，但掷次数很多时，出现1点的频率接近1/6几乎是必然的。 例2、测量一个长度a，一次测量的结果不见得就等于a，量了若干次，其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的。 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number) 大数定律的概念 三个大数定律： （1）切比雪夫大数定律、 （2）贝努里大数定律 （3）辛钦大数定律。 它们之间既有区别也有联系。 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 正态分布是最常见的分布。 现在研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. §3.3 中心极限定理 掷一颗骰子，出现点数X的分布律为： X 1 2 3 4 5 6 P 中心极限定理的客观背景 x P 6 5 4 3 2 1 掷两颗骰子，出现点数和X=X1+X2的分布律为： X=X1+X2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P x P 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为： X 3 4 5 6 7 8 9 10 P X 11 12 13 14 15 16 17 18 P x 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为： ?X近似服从正态分布 中心极限定理的客观背景 例:20个0-1分布的和的分布 ?X近似服从正态分布 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量，即： 中心极限定理的意义与作用 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法， 而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实. 讨论2种简单情形. 1.独立同分布下的中心极限定理 2.德莫佛-拉普拉斯定理(二项分布的正态近似) 若随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立， 且同分布，有有限数学期望E(Xk)=μ 和方差D(Xk)=?2. 近似 ～ 近似 ～ 独立同分布中心极限定理 设随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立，且同分布，有限数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=?2. 若随机变量序列 定理3.3.1（独立同分布中心极限定理） 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn Xi ~ B( 1, p )，相互独立，并且 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1－p) 若随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ， n =1,2…， 定理3.3.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理） 设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ， n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有 中心极限定理的应用 对于独立的随机