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* 理论力学 南非金伯利钻石矿坑 第15讲 理论力学 点的合成运动(二) 5.2 速度合成定理 5.2.2 速度合成定理 O x y z x y z O M(m) x y z O M m ?rm ?r ?r ?r =?rm+ ?r va= ve+ vr 上述结果表明,无论牵连运动为平动还是定轴转动,动点的绝对速度均等于其相对速度与牵连速度的矢量和。即 va = vr + ve 这一结论称为点的速度合成定理。 注意事项: 上述结论适用于任何形式的相对运动和牵连运动。 注意公式的矢量性和瞬时性。 在定理的应用中常用几何法,作速度合成图,最后归结为解三角形。 O u M A B ? 例1. 正弦平动机构如图示,已知u,OM = R。用合成法求? = 45o时OM的角速度。 解: 动点: 滑块M , 定系: 地面 , 动系: AB。 速度合成图如图示, ve = u, 故 va = ve / cos ? = u ? = va / R = u / R va ve vr ? O M C A ? ? 例2. 己知 OC = h , CM = r , ? = ?0t ; 求 ? = 90o时, OA杆转动的角速度。 解: 动点: 滑块M , 定系: 地面 , 动系: OA。 ve= vasin? = r?0sin? 而 OM = r/sin? ? = ve /OM = r2?0 /(r2+h2) 速度合成图如图示, va = r? = r?0, 故 va ve vr ? ? A B ? O C D va ve vr 例3. 己知 ?, OC = r ,在图示位置AB⊥CO, CD = OD。求此时顶杆AB的速度。 解: 动点: 顶杆上的A点, 定系: 地面 , 动系: 园盘。 速度合成图如图示。 va = ve = r? 5.3 加速度合成定理 5.3.1 基本概念 绝对加速度(aa): 动点相对于定系的加速度 aa= dva / dt = d2r / dt2 相对加速度(ar): 动点相对于动系的加速度,即动点的相对速度对时间的相对导数 牵连加速度( ae ): 牵连点相对于定系的加速度。 ar= dvr / dt = xi + yj + zk ?? ?? ?? ～ 5.3.2 牵连运动为平动时的加速度合成 va = vr + ve 由速度合成定理可知 上式两边求时间导数得 aa= va= vr+ ve ? ? ? vr= dr/ dt = xi + yj + zk ～ ? ? ? 因为 当牵连运动为平动时, i、j、k为常矢量，故 dvr / dt = dvr / dt = ar ～ vr= ? ve = rO = ae ? ?? 牵连运动为平动时, 动系上各点在任一瞬时的速度都相等，即有 因此 aa = ar + ae 即牵连运动为平动时,动点的绝对加速度等于它的相对加速度与牵连加速度的矢量和。 M rO x y z O O x y z 5.3.3 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 牵连运动为定轴转动时加速度合成定理与牵连运动为平动时具有不同的形式。 aa = ar + ae + aC 式中aC=2?×vr , 称为科氏加速度。 即牵连运动为定轴转动时,动点的绝对加速度等于它的相对加速度、牵连加速度与科氏加速度的矢量和。 ※ 科氏加速度aC=2?×vr的产生是由于牵连转动和相对运动相互影响的结果。其中一部分是由于相对运动改变了牵连点的位置,使牵连速度发生了变化而产生的附加加速度;另一部分是牵连转动使相对速度的方向发生改变而产生的附加加速度。 O M C A ? ? ? vr ve 注意事项: 注意牵连运动为平动与牵连运动为定轴转动时，求加速度的公式形式不同。 aa = ar + ae 牵连运动为平动 aa = ar + ae + aC 牵连运动为定轴转动 2. 在定理的应用中常用解析法。在平面问题中，将公式投影到两个坐标轴上, 可得两个独立的标量方程, 解两个未知数。注意投影时应保持公式的原有形式不变。 *