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四、计算题 已知一流动的速度场为：vx = 2xy+x，vy = x2-y2-y，试证明该流动为有势流动，且存在流函数，并求速度势及流函数。 解：（1）∵ ， 则 ωx= ωy= ωz = 0， 流动为无旋流动， ∴ 该流动为有势流动。 又 ∵ ，即流动为不可压缩流体的平面流动， ∴该流动存在流函数。 （2） ∵ ∴ 速度势为： ∵ ∴ 流函数为： 如图所示，两圆筒内装的是水，用管子连接。第一个圆筒的直径d1= 45 cm，其活塞上受力F1=320 N，密封气体的计示压强为981.0 Pa；第二个圆筒的直径d2= 30 cm，其活塞上受力F2=490 N，开孔通大气。若不计活塞重量，求平衡状态时两活塞的高度差h。 解： ∵ ∴ 已知：一闸门如图，h1 = 2m，h2 =3m，h3 =5m，闸门宽B = 2m，γ1 =9806 N/m3，γ2 =12000 N/m3，γ3 =46000 N/m3。求作用在AB板上的合力，以及作用在B点的合力矩。 解： 图示为水自压力容器定常出流，压力表读数为10atm，H=3.5m，管嘴直径D1=0.06m，D2=0.12m，试求管嘴上螺钉群共受多少拉力？计算时管嘴内液体本身重量不计，忽略一切损失。 解：对容器液面和管嘴出口截面列伯努利方程： 选管嘴表面和管嘴进出口断面所围成的体积为控制体，列动量方程： 对管嘴的进出口断面列伯努利方程，得 ∴ 如图示，水流经弯管流入大气，已知d1=100mm，d2=75mm，v2=23m/s，不计水头损失，求弯管上所受的力。 解：由连续方程： 得： 对弯管的进、出口截面列伯努利方程： 其中，P2 b= 0，z1 = z 2，代入得： 选弯管所围成的体积为控制体，对控制体列动量方程： 求得：Fpnbx= - 710.6 (N) ∴ Fx= - Fpnbx= 710.6 (N) Fpnby= 1168.5 (N) Fy= - Fpnby= -1168.5 (N) 已知油的密度ρ=850 kg/m3，粘度μ=0.06 Pa.s，在图示连接两容器的光滑管中流动，已知H=3 m。当计及沿程和局部损失时，求：（1）管内的流量为多少？（2）在管路中安一阀门，当调整阀门使得管内流量减小到原来的一半时，问阀门的局部损失系数等于多少？（水力光滑流动时，λ= 0.3164/Re0.25）。 解：（1）对两容器的液面列伯努利方程，得： 即： (1) 设λ= 0.03，代入上式，得 v = 3.27 m/s，则 故，令λ=λ’=0.0291，代入（1）得：v=3.306（m/s） 则 ∴ （2） 则 求得： 7．为确定鱼雷阻力，可在风洞中进行模拟试验。模型与实物的比例尺为1/3，已知实际情况下鱼雷速度vp=6 km/h，海水密度ρp=1200 kg/m3，粘度νp=1.145×10-6 m2/s，空气的密度ρm=1.29 kg/m3，粘度νm=1.45×10-5 m2/s，试求：（1）风洞中的模拟速度应为多大？（2）若在风洞中测得模型阻力为1000N，则实际阻力为多少？ 解：已知 由Rep = Rem 得， kν = kv kl， ∴ vm= kvvp= 38×6 =228 (km/h) （2）由kF= kρkl2 kv2 得 ∴ FP = Fm/kF = 1000/0.1725 = 5798 (N) 流体通过孔板流量计的流量qv与孔板前、后的压差ΔP、管道的内径d1、管内流速v、孔板的孔径d、流体密度ρ和动力粘度μ有关。试用π定理导出流量qv的表达式。 （dimΔP =ML-1T-2， dimμ=ML-1T-1）。 解：设qv= f (ΔP, d1, v, d,ρ,μ) 选d, v, ρ为基本变量 上述方程的量纲方程为： 由量纲一致性原则，可求得： a1=0 a2=1 a3=0 a4=1 b1=1 b2=2 b3=0 b4=1 c1=2 c2=0 c3=1