附、数制和编码.pptVIP

表示形式 浮点数也是一串0和1构成的位序列(bit sequence)。 IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N, n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位 S(sign)表示N的符号位。对应值s满足：n0时，s=0; n0时，s=1。 E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。 M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。 浮点数格式 IEEE标准754规定了三种浮点数格式： 单精度、 双精度、 扩展精度。 前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。 单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。 双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。 浮点数格式 M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数， 假定 M为“010110011...”, 在二进制数值上其实是“.010110011...”。 标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位绝大多数情况下是1。 那什么情况下是0呢？答案是N对应的n非常小的时候，比如小于 2-126(32位单精度浮点数)。 隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...” 规格化(normalized)”“非规格化(denormalized) 1、规格化：当E的二进制位不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数。 e值计算公式： |E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E则|E|=132,e=132-127=5 。 k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。 规格化(normalized)”“非规格化(denormalized) 非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。此时e，m的计算都非常简单。 此时小数点左侧的隐含位为0。 为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。　　有了非规格化形式，我们就可以表示0了。把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,则得到 +0.0。非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually underflow)”属性。 规格化(normalized)”“非规格化(denormalized) 3、特殊数值： 当E的二进制位全为1时为特殊数值。此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。 范例 我们假定N是一个8位浮点数，其中， S占1位， E占4位， M占3位。 范例分析 看 N 列，二进制位表示是均匀递增的，且增量都是一个最小二进制位。 观察最大的非规格数，发现恰好就是M全为1, E全为0的情况。于是我们求出最大的非规格数为： 公式中，h为M的位数(如范例中为3)。注意，公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的值（如范例中为 8/512 ）;第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。 看 m 列，规格化数都是 1+ x 的形式，这个1正是隐含位1; 而非规格化数隐含位为0, 所以没有 1+ 。 看 n 列，非规格化数从上到下的增量都是 1/512, 且过渡到规格化数时，增量是平滑的，依旧是1/512。 这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故，也是巧妙设计的结果。 再继续往下看，发现增量值逐渐增大。可见，浮点数的取值范围不是均匀的。 浮点数加减运算 设两个浮点数 X=Mx*2Ex ，Y=My*2Ey 实现X±Y要用如下5步完成： 对阶操作：小阶向大阶看齐； 进行尾数加减运算； 规格化处理：尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位（就是使用00表示正数，11表示负数，01表示上溢出，10表示下溢出）的补码尾数来说，就必须是001×××…×× 或110×××…××的形式，若不符合上述形式要进行左规或右规处理。 舍入操作：在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入