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第三节 一、曲面方程的概念 研究方程 二、旋转曲面 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 四、二次曲面 1. 椭球面 2. 抛物面 3. 双曲面 (2) 双叶双曲面 4. 椭圆锥面 内容小结 2. 二次曲面 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为 又如, 第五节 一、平面的点法式方程 例1.求过三点 说明: 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 特殊情形 例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 三、两平面的夹角 特别有下列结论： 例4. 一平面通过两点 例5. 设 例6. 解: 设球心为 内容小结 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 题1：画出下列曲线在第一卦限内的图形。 (2) (1) (3) 求 与 公共部分在xoy平面和xoz平面上的投影。 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 平面及其方程 第七章 ① 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称①式为平面?的点法式方程, 求该平面?的方程. 法向量. 量 则有 故 即 解: 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 此式称为平面的截距式方程. 时, 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 因此有 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 外一点,求 解:设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式) 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限,且 因此所求球面方程为 四面体的球面方程. 从而 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 三点式 2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: * * * * 四、二次曲面 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 曲面及其方程 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 求动点到定点 方程. 距离为 R 的轨迹 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 的圆锥面方