数学分析第十八章课件极值与条件极值.pptVIP

第十八章 极值与条件极值 第一节 极值与最小二乘法 第二节 条件极值与拉格朗日乘数法 内容小节 习题 补充题 作业 P102:2.4.6 * 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 若函数 时, 具有极值 则: 1) 当 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 时取极小值; 时取极大值; 二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 稳定点，偏导数不存在的点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值 为最小 值 (大) (大) 依据 三、条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转化 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 例如, 故 故有 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 例1. 求 满足约束条件 的最大值。 解：作拉格朗日函数： 令 即，稳定点： 由实际问题知所求最大值必存在，而稳定点又唯一，因此唯一的稳定点就是最大值点。故球内接长方体中以正方体的体积最大。 例2. 求在 约束条件 下的极小值； 并证明不等式： 解：作拉格朗日函数： 令 即，稳定点： 下面判别稳定点是极值点 记 则 故方程 在稳定点 附近可唯一确定可微数 令 现在用二元函数取极值的充分条件判别 是 的极值点。 由约束条件得： 从而 故 在 点有 . 因此 在 取极小值 , 这等价于 在 取极小值 分析约束集 是一无界集。当 在 内远离原点时，函数将 趋于正无 穷。因此，函数 的唯一极小值点是函数的 最小值点，即 代入得， 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值, 解方程组 第二步 判别 ? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3. 函数的最值问题 在条件 求驻点 . 例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 在点(?3,0) 处 不是极值; 在点(?3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 例3. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻