李林2015年线代讲义.pdfVIP

2015 考研数学暑期强化班讲义——李林 第二篇 线性代数 第一讲 行列式 考纲要求 1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 问题 1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？ 答 行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数，它在线性代数中有广泛应用： 设A n 为 阶方阵，则下列命题等价： ⑴ A ≠0 （A 非奇异）； ⑵ A 可逆； ⑶存在方阵B ，使得AB E ； ⑷r ( A) n （ A 满秩）； ⑸ A 的特征值全不为零； ⑹ A 的行（列）向量组线性无关； ⑺ Ax 0 只有零解； ⑻ Ax b 有惟一解. 问题2 何谓余子式、代数余子式？ 答 余子式、代数余子式的定义见教材，由定义知，代数余子式 与第 行、第j 列的元素 A i ij 的取值无关. 例 1 0 1 2 1 1 0 −3 设D ，求A +A +A +A ；M +M +M +M . 【 】 41 42 43 44 41 42 43 44 −1;−5 1 1 1 0 1 2 5 −4 问题3 行列式有哪些性质？ 答 行列式的性质有 ⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来； ⑷两行成比例，行列式为零； ⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和； 1 2015 考研数学暑期强化班讲义——李林 ⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变. 注 行列式对行成立的性质，对列也成立. 问题4 写出行列式按行（列）展开公式. 答 A a A =+a A +L +a A （按第i 行展开） i1 i1 i 2 i 2 in in A a A =+a A +L +a A （按第j 列展开） 1j 1j 2j 2j nj nj ▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即 ai1Aj 1 +ai 2 Aj 2 +L +ain Ajn 0 (i =≠ j) 问题5 如何计算数字、字母型行列式？ 答 数字、字母型行列式的计算方法有 ⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷归纳法； ⑸公式法.常用公式有 公式 1 上（下）三角形行列式 a * * * a 1 1 a * * * a 2 2 a a L a . O * * * O 1 2 n * * * a