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* 2 6 1 12 练习 1. 设 L={1,2,3,4,6,12},在L上定义 整除关系,构成偏序集L; ≤. (1) glb(6,4)= ; lub(2,3)= ; (2) 该偏序集的最小元素是 ; 最大元素是 . 12 6 4 3 2 1 3 4 1 10 (1) glb(6,9) = ; glb(8,12) = ; (2) glb(9,7) = ; lub(5,10) = . 12 2.设L={1,2,3,…,11,12},在L上定义 整除关系,构成偏序集. 8 4 2 1 10 5 6 3 9 7 11 下面给出的三个次序图,其中哪些是格?在图 下方相应的括号内键入“Y”或“N”表示肯定或否定. ( ) ( ) ( ) N Y Y Y Y N N 4.对下图所给出的格判断以下子集是否能构成它的 子格,在相应的括号内键入“Y”或“N”来回答. (1)S1={e,c,b} ( ) (2)S2={d,b,a} ( ) (3)S3={c,d,b} ( ) (4)S4={c,d,a} ( ) e d c b a 定义7-7 设L; , 是一个格,若对于任意的l1, l2, l3∈ L,有 则称 L ; , 是分配格. 7.4 分配格和有补格 一、分配格 1.分配格的定义 d c b a e c d b a d b c a 例1 对任意的集合A,2A ;∪,∩是一个分配格. 因此 b∧(c∨d)≠(b∧c)∨(b∧d) 而 (b∧c)∨(b∧d) e b c d a 例2 ???????? b∧(c∨d) = b∧e = b = a∨a =a 不是分配格. 2. 分配格中运算特点 定理7-11 在格L;∨,∧中,如果交运算对并运算是可分配的,则并运算对交运算也是可分配的;如果并运算对交运算是可分配的,则交运算对并运算也是可分配的. 证明 设在格L; , 中,对任意 l1, l2, l3 ∈L,有 例如 设 L ={1,2,4,16,32,64}, 定义在L上的整除关系≤与L构成一个链L;≤. 设L; ≤ 是一个偏序集,若对于任意的l1, l2 ∈L,或者l1 ≤ l2, 或者l2 ≤ l1 ,则称L; ≤是一个链. 64 32 16 4 2 1 例3 每一个链L; ≤都是一个分配格. 证明 (1)先证明L; ≤是一个格. 由链的定义,对于任意 l1, l2 ∈L,或者 l1 ≤ l2, 或者 l2 ≤ l1 . 若 l1≤ l2 ,则 glb(l1, l2 )=l1 , lub(l1, l2 )=l2 ; 所以 L; ≤ 是一个格,可将其表示为 L;∨,∧. 对任意 l1, l2 ∈ L, l1∨l2 =lub(l1, l2), l1 ∧ l2 =glb(l1, l2). 若 l2≤ l1 ,则 glb(l1, l2 )=l2 , lub(l1, l2 )=l1 . (2) 证明 L;∨,∧是一个分配格. 对任意 l1, l2, l3 ∈L, 必有 l2 ≤ l3 或者 l3 ≤ l2 , 不妨设 l2 ≤ l3. 于是有 l1 ∧(l2 ∨ l3)= l1 ∧ l3 . 又因为 l1 ∧ l2 ≤ l1 ∧ l3 , 所以 ( l1 ∧l2) ∨( l1 ∧l3 ) = l1 ∧ l3 , 因此 l1 ∧(l2 ∨ l3)=( l1 ∧l2) ∨( l1 ∧l3 ) . 若 l3 ≤ l2 ,其证明方法类似,因此链L; ≤ 是一个 分配格. 3.分配格的性质 定理7-12 设 l1, l2, l3是分配格 L;∨, ∧ 中的任意三个元素, 那么 证明 (1)
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