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第九章　习题二 微分法及其应用 一．选择题 1．设，而、均为可导函数，则 （　C　） （A）；（B）；（C）；（D）． 2．设，、，、可微，则 （　D　） （A）； （B）； （C）； （D）． 3．设由方程所确定，其中，则（　A　） （A）； （B）； （C）； （D）． 4．曲面在点P(2,1,0)处的法线方程是 　　　　　　　　　（　C　） （A）； 　 （B）； （C）； 　 （D）． 5．已知在曲面上点P处的切平面平行于平面, 则点P的坐标为　　　　 　　　　　 （　B　） （A）； （B）； （C）； （D）． 6．函数在点沿方向的变化率为　 （　C　） （A）； （B）； （C）； （D）． 7．函数在点处的方向导数的最大值为　 （　A　） （A）； （B）； （C）； （D）． 8．若、存在，则是在处取得极值的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　A　） （A）必要非充分条件； （B）充分非必要条件； （C）充分且必要条件； （D）既非必要亦非充分条件． 9．若在的某邻域内各二阶偏导数连续，则 是在处取得极值的　　　　　　　　　（　D　） （A）必要非充分条件； （B）充分非必要条件； （C）充分且必要条件； （D）既非必要亦非充分条件． 10．点是函数的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　B　） （A）极小值点； （B）驻点但非极值点； （C）极大值点； （D）最大值点． 二．填空题 1．设由方程确定，则，． 2．曲线在点处的切线方程为． 3．曲线在点处的切线方程为． 4．曲线，，在点处的一个切向量与轴正向的夹角成钝角，则它与轴正向夹角的余弦． 5．设函数、可微，则沿的梯度方向上的方向导数为． 三．计算题 1．设，式中，求、及． 解：； ． 2．设，式中，求、、和． 解：； ； ； ． 3．设，式中二阶可导，求． 解：记，则．则 ， ． 类似地，有 ， ． 于是 ． 4．设由方程所确定，求． 解：利用微分形式不变性，在所给方程两端取微分，得 ． 则有　　　　　　　． 当时，有 ． 5．设由确定，求． 解：将所给每个方程两边分别对、求导，并注意是、的函数，得 　　　 解得，，，． 6．设，其中、、都具有连续的一阶偏导数，且、，求． 解：，，． 解得 ． 7．求曲线在点(1,1,1)处的法平面方程． 解：曲线在点(1,1,1)处的切向量 ， 故所求法平面方程为，即． 8．求函数的极值． 解：由，，得驻点为． 又， ，， 有，且，故有极小值． 9．试分解正数为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小． 解：设三个正数为．求在条件下，在、、内的最小值点．记，令 解出 ． 由问题的背景可知，此最小值点存在．由考虑范围为开区域，故其为极小值点．再由函数的可导性可知其驻点，其故为． 答：这三个正数均为． 10．设有界闭区域：，，．判断函数在上的最大值是否存在，并在其存在时求出其值． 解：在有界闭区域上连续，在上的最大值存在． 、在的内部无零点，在上的最大值必在边界上达到． 在的边界（）或（）上，有； 在的边界（）上，有．求在上的最大值： 由，得的驻点，进而得在上的最大值为（也可利用拉格朗日数乘法求在的边界（）上的最大值），此即为在的边界（）上的最大值． 故函数在上的最大值为． 四．证明题 试证：存在一条定直线，使曲面上任一点处的切平面都与之平行，其中连续可导． 证：曲面上任一点处的法向量．取，则由可知．于是，取定直线的方向向量为，则有曲面上任一点的切平面都平行于定直线．证毕． 《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级___________　姓名___________　学号____________ 4