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求多项式函数实数根的方法
第 29 卷 第 5 期 昭通师范高等专科学校学报 2007 年 10 月 Vol . 29 No . 5 J ournal of Zhaotong Teachers College Oct . 2007 ●数学 求多项式函数实数根的方法 黄 永 , 康道坤 ( 昭通师范高等专科学校 数学系 , 云南 昭通 657000) 摘要 :较程序化地给出了实系数多项式函数实数根的求法. 关键词 :实系数 ; 多项式函数 ; 实数根 中图分类号 :O 15 1. 1 文献标志码 :A 文章编号 (2007) 关于实系数多项式函数 ( ) n n- 1 n- i ( ) ( ) f x = a x + a x + + a x + + a a ≠0 1 0 1 i n 0 的实数根的求法 ,绝大多数高等代数和初等代数的有关书籍都作了讨论, 但都比较零散, 不够系统, 且寻 找根的方法缺乏程序化. 笔者通过归纳探索, 在此较程序化地给出了操作性较强的寻找实系数多项式 函数实数根的方法. 1 有关定理和方法 为节省篇幅 ,在此仅给出涉及到的有关定理和方法, 其证明可参阅相关文献. 定理 1[1 ] n 次多项式f (x) 至多有 n 个不同的根. ( ) [2 ] ( ) ( ) 定理 2 笛卡尔符号律 多项式函数 f x 的正实根个数等于f x 的非零系数的符号变化个 数, 或者等于比该变化个数小一个偶数的数;f (x) 的负实根个数等于f ( - x) 的非零系数的符号变化个 数 ,或者等于比该变化个数小一个偶数的数. 定理 3 [1 ] 数 c 是f (x) 的根的充分必要条件是f (x) 能被 x - c 整除. 定理4 [1 ] 每个次数大于0 的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积 . [1 ] ( ) ( ) 定理 5 设 1 式中 i = 0 ,1 , ,n , a i ∈ ,即f x 是整系数多项式, 若 a n ≠0 ,且有理数 u/ v * 是 f (x) 的一个根, u ∈ , v ∈ , ( u , v) = 1 ,那么 : ( ) i v | a0 , u | an ; (ii) f (x) / (x - u/ v) 是一个整系数多项式. ( ) [2 ]
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