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太原理工大学物理系 §4-4 麦克斯韦速率分布律 热力学系统中分子数量多，分子速度的大小、方向千变万化，分子的速度分布、速率分布有无规律? 单个分子的速率无规则，但从大量分子的整体来看，在平衡状态下，分子的速率分布遵循一定的统计规律。 气体分子的平均平动动能 方均根速率 分子速率的一种统计平均值 　例　伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽的序号，?Ni为落入第i个小槽的粒子数　　 每个槽内的粒子数与总数之比： 1）与狭槽的宽度有关 2）与狭槽的位置有关 是位置的函数 概率分布函数表示随机变量x处单位区间内的概率，所以概率分布函数又称为概率密度。 称为概率分布函数 一、 速率分布函数 把速率分成很多相等的间隔?v v v+?v o ? 统计出每个?v 间隔内的分子数?N ? v+ ?v间隔内分子数与分子总数N之比 某v处单位速率间隔内分子数与总数之比 只与速率v有关，只是v 的函数。 速率分布函数 说明了理想气体分子速度大小的分布是有规律的，这一结论由麦克斯韦 1859年用概率论证明. 二、麦克斯韦速率分布律 反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。 麦克斯韦速率分布曲线 表示分子速率在 v—v+dv 间隔内的分子数占总分子数的百分比。 表示分子速率在v附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。 1）f (v ) 的意义 讨论 2）f (v ) dv的意义 表示速率在v1?v2范围内分子数与总分子数之比。 4） 的意义 是速率分布曲线下的总面积. 称为归一化条件 3） 的意义 表示单位体积内分布在速率区间 内的分子数。 例1 表示分布在速率区间 内的分子数。 表示分布在单位体积内，速率区间 内的分子数。 三、 气体的三种统计速率 速率分布函数 中的极大值对应的分子速率 极值条件 (1)最概然速率: 平衡态下的理想气体,在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多。 气体分子速率的算术平均值。 (2)平均速率： 气体分子速率平方的平均值的平方根。 (3)方均根速率： 三种速率比较 三种速率均与 成正比,与 成反比，但三者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。 vp --- 用于讨论速率分布 ---用于计算分子的平均平动动能 --- 用于讨论分子碰撞 三种速率使用于不同的场合 地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。 N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧气(占大气质量的23%)。 温度越高，速率大的分子数越多 同一气体不同温度下速率分布比较 同一温度下不同种气体速率分布比较 分子质量越小，速率大的分子数越多。 例1 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线如图所示，已知 在曲线上标出温度 例2 同一温度下两种气体 和 的速率分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。 太原理工大学物理系