§4.4齐次线性方程组解的结构.pptVIP

一、向量空间的基与维数 二、齐次线性方程组的解空间 三、基础解系及其求法 * * 那末，向量组 就称为向量　的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． 定义10 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 § 4.4 齐次线性方程组解的结构 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． 说明 （3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为 （2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 （1） 则上述方程组（1）可写成向量方程 若 为方程 的 解，则 　　称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解． ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间． 证毕. １．基础解系的定义 ２．线性方程组基础解系的求法 　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关． 于是 可化为 现对 取下列 组数： 依次得 从而求得原方程组的 个解： 　　下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基． 由于 个 维向量 线性无关， 所以 个 维向量 亦线性无关. 由于 是 的解 故 也是 的 解.