§2格林公式及其应用.pptVIP

  1. 1、本文档共21页,可阅读全部内容。
  2. 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
  5. 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
  6. 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们
  7. 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
  8. 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
§2 格林公式及其应用 格林(Green)公式 平均值定理 极值原理 第一边值问题解的唯一性及稳定性 1.格林公式 1) 格林公式的推导 2)调和函数的积分表达式 补:二维空间上的基本积分公式以及调和函数的基本积分公式 3) 泊松方程 4)调和方程的诺伊曼内问题有解的必要条件 2.平均值定理 3. 极值原理 4.第一边值问题解的唯一性和稳定性 上页 下页 返回 * * * 高斯公式: 格林第二公式: 其中 是 的单位外法向量。 格林第一公式: (2.5) 从而有: 基本积分公式 调和函数基本积分公式 (2.8) (2.7) □ □ □ 设 ,是内一定点。 考察函数 容易验证,当时,。(见P73习题1)称 为三维拉普拉斯方程的基本解。 为利用Green第二公式,取充分小,使得以为球心,半径为的球的球面与的边界不相交,则在复连通区域中,。 在复连通区域 中对上述函数和 应用Green第二公式,得 注意到在 上,, 记,,即和分别为和在上的平均值,则 当是内的调和函数,,则由格林第二公式有: 记, ,其中 表示 的面积,即 和 分别为 和 在 上的平均值,则 综上所述,设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域,,若,则: 若,则当时: 利用基本积分公式(2.8)很容易导得泊松方程的一个特解表达式。 事实上,设有函数,满足,其中,由(2.8),对 因为是基本解,所以,从而。由叠加原理,。(见引力场势函数)。 定理2.1 设,,则。 证明 格林第二公式中取为所给调和函数,,则得。 定理2.2(平均值公式) 设 在某区域 内调和,是中任一点,则对以 为中心、为半径完全落在区域 的内部的球面 ,成立 (2.11) 证明: 将调和函数基本积分公式应用到上有: 在上,,所以 从而(2.11)成立。 定理2.3(极值原理) 设在内且,则在的任何内点上,不可能取到它在区域的上、下界。 定理2.4 调和方程狄利克雷问题 (1) 的解如果存在,必是唯一的,并且连续依赖 于所给的边界条件f。 其中 。 由此定理可知,诺伊曼内问题 有解的必要条件为。 推论2 设及都是内的调和函数,且在 上连续。如果在的边界 上成立着不等式 ,那么在内上述不等式也成立;并且只有在 时,在内才会有等号成立的问题。 推论1 在有界区域 内调和,且在 上为连续的函数必在边界 上取到其最大值和最小值。 证明: (反证法)假设且在内取到上界,即,下面将证明,在内恒为从而引出矛盾。 以为球心,任意为半径作球,使得。记。 若上有函数值小于的点,则在此点的某领域内函数值均小于,由平均值定理, 这显然不可能。所以在上恒为。 同理,在以为球心,任意为半径的球面上恒为,从而在整个上恒等于常数。 对,如图作折线与球面,可得。所以。 若,分别是问题(1)当和的解,且,满足由定理2.3,。 证明: 设,都是(1)的解,则满足,由定理2.3,。 定理2.5 调和方程狄利克雷外问题 (2) 的解如果存在,必是唯一的。 证明:设都是(2)的解,且,。令,则,,。 设是外的任一点,以为心,作半径为的球面,取充分大,使得包含在内,即落在和所围成的区域中,由极值原理可知,,从而。 设是中的有界开集,,,则对,有 由于 ,则由高斯公式可得 令,则 当是内的调和函数时,即时,若,则 当是内的调和函数,,类似基本积分公式的推导,记 ,,则有 因为,,上式两边令,得 当是内的调和函数时,即时,若,则有 作为的函数,记 称为体位势:可理解为电荷体密度或质量密度。利用体位势,可将泊松方程的求解问题通过叠加原理化为调和方程的求解问题。

文档评论(0)

wendan118 + 关注
实名认证
文档贡献者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档