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§2 格林公式及其应用 格林(Green)公式 平均值定理 极值原理 第一边值问题解的唯一性及稳定性 1.格林公式 1) 格林公式的推导 2)调和函数的积分表达式 补:二维空间上的基本积分公式以及调和函数的基本积分公式 3) 泊松方程 4)调和方程的诺伊曼内问题有解的必要条件 2.平均值定理 3. 极值原理 4.第一边值问题解的唯一性和稳定性 上页 下页 返回 * * * 高斯公式: 格林第二公式: 其中 是 的单位外法向量。 格林第一公式: (2.5) 从而有: 基本积分公式 调和函数基本积分公式 (2.8) (2.7) □ □ □ 设 ,是内一定点。
考察函数
容易验证,当时,。(见P73习题1)称 为三维拉普拉斯方程的基本解。
为利用Green第二公式,取充分小,使得以为球心,半径为的球的球面与的边界不相交,则在复连通区域中,。
在复连通区域 中对上述函数和 应用Green第二公式,得
注意到在 上,,
记,,即和分别为和在上的平均值,则
当是内的调和函数,,则由格林第二公式有:
记, ,其中 表示 的面积,即 和 分别为 和 在 上的平均值,则
综上所述,设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域,,若,则:
若,则当时:
利用基本积分公式(2.8)很容易导得泊松方程的一个特解表达式。
事实上,设有函数,满足,其中,由(2.8),对
因为是基本解,所以,从而。由叠加原理,。(见引力场势函数)。
定理2.1 设,,则。
证明 格林第二公式中取为所给调和函数,,则得。
定理2.2(平均值公式) 设 在某区域 内调和,是中任一点,则对以 为中心、为半径完全落在区域 的内部的球面 ,成立
(2.11)
证明: 将调和函数基本积分公式应用到上有:
在上,,所以
从而(2.11)成立。
定理2.3(极值原理) 设在内且,则在的任何内点上,不可能取到它在区域的上、下界。
定理2.4 调和方程狄利克雷问题
(1)
的解如果存在,必是唯一的,并且连续依赖 于所给的边界条件f。
其中 。
由此定理可知,诺伊曼内问题 有解的必要条件为。
推论2 设及都是内的调和函数,且在 上连续。如果在的边界 上成立着不等式 ,那么在内上述不等式也成立;并且只有在 时,在内才会有等号成立的问题。
推论1 在有界区域 内调和,且在 上为连续的函数必在边界 上取到其最大值和最小值。
证明: (反证法)假设且在内取到上界,即,下面将证明,在内恒为从而引出矛盾。
以为球心,任意为半径作球,使得。记。
若上有函数值小于的点,则在此点的某领域内函数值均小于,由平均值定理,
这显然不可能。所以在上恒为。
同理,在以为球心,任意为半径的球面上恒为,从而在整个上恒等于常数。
对,如图作折线与球面,可得。所以。
若,分别是问题(1)当和的解,且,满足由定理2.3,。
证明: 设,都是(1)的解,则满足,由定理2.3,。
定理2.5 调和方程狄利克雷外问题
(2)
的解如果存在,必是唯一的。
证明:设都是(2)的解,且,。令,则,,。
设是外的任一点,以为心,作半径为的球面,取充分大,使得包含在内,即落在和所围成的区域中,由极值原理可知,,从而。
设是中的有界开集,,,则对,有
由于 ,则由高斯公式可得
令,则
当是内的调和函数时,即时,若,则
当是内的调和函数,,类似基本积分公式的推导,记 ,,则有
因为,,上式两边令,得
当是内的调和函数时,即时,若,则有
作为的函数,记
称为体位势:可理解为电荷体密度或质量密度。利用体位势,可将泊松方程的求解问题通过叠加原理化为调和方程的求解问题。
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