§2.3随机变量的分布函数.pptVIP

* * §2.3 随机变量的分布函数 对于连续型的随机变量，由于它的可能取值不能一个一个地列举出来，因此就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。另外，对于连续型的随机变量X取某一值的概率为零，因此对于连续型的随机变量，我们主要研究它的值落在某一区间的概率， 即P{x1 X≤x2}= P{X≤x2}? P{X≤x1} 为此我们引进了分布函数的概念. 为X 的分布函数. 设 X 为随机变量, x 是任意实数 , 称函数 定义 由定义知 X 落在区间( a ,b ] 里的概率可用分布函数来计算： （ ] a b ] ] （ ] 可以看出:分布函数 F (x) 是普通函数,即x是自变量,函数的值均为实数,通过它可以用数学分析的方法研究随机变量. 分布函数的性质 F ( x ) 单调不减，即 且 F ( x ) 右连续，即 可以证明:若定义在实数域上的函数 F (x)满足上述三条性质，则它必是随机变量的分布函数. 例1 请 填 空 用分布函数表示概率 解 由定义 当 时, 当 时， 例2 求 。 当 时， 故 当 时， 离散型随机变量X 的分布函数 故 下面我们从图形上来看一看。 注意右连续 不难看出， 的图形是阶梯状的图形， 在 处有跳跃，其跃度分别等于 分布函数图 概率函数图 解 例1 例3 设汽车在开往甲地途中需经过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.令 X 表示首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布函数. ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 x x ] ] ] ? ] ? ? k pk 0 1 2 3 4 0.6 0.4?0.6 0.42?0.6 0.43?0.6 0.44 当 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 x F( x) o ? o ? 1 ? o ? o ? o 从上面的例子可看出，若X 的概率分布为 则X 的分布函数为 上式中的和式是对所有满足 的k进行求和，即 其中 . 例4 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 于是 故 X 的分布函数为 其图形为一连续曲线 例5 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标 必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目 标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独 立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需 轰击次数 X 的概率分布. 解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标) 例3 巴斯卡 分 布 注 利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质 当 归纳地 令 离散型随机变量的分布律的求法： （1）利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件{X=xk}的概率pk= P{X=xk}, k=1,2,…?????, 求法步骤为： 第一步：先确定 X 的全部可能取值 xk, k=1,2,…； ?第二步：具体求出事件{X=xk}的概率，即pk。 （2）利用分布函数F(x)求概率分布 求法步骤为：第一步：F(x)的各间断点xk的取值为X的可能取值；第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)-F(xk-0)求出事件{X=xk}的概率。 例6 (3)利用分布律的基本性质求分布律 例7? 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。 ?0p1 几何分布 0p1 二项分布 0p1 (0-1)分布 参数 分布律 分布类型 （4）利用熟知分布求分布律 　 等可能分布 ?λ0 泊松分布 r=min{n,M} 超几何分布