初中数学竞赛 33同一法.pdfVIP

初中数学竞赛辅导资料（33 ） 同一法 甲内容提要 1. “同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个 互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。 2. 同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那 么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。 互逆两个命题一般是不等价的。例如 原命题：福建是中国的一个省 （真命题） 逆命题：中国的一个省是福建 （假命题） 但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如 原命题：中国的首都是北京 （真命题） 逆命题：北京是中国的首都 （真命题） 因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题 是等效的。又如 原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题） 逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题） 因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所 以互逆的两个命题是等效的。 3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题 符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： ① 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） ② 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设） 乙例题 例1. 求证三角形的三条中线相交于一点 已知：△ABC 中，AD ，BE ，CF 都是中线 求证：AD ，BE ，CF 相交于同一点 分析：在证明 AD 和 BE 相交于点 G 之后，本应再证明 CF 经过点 G，这要 证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长 CG 交 AB 于 F， ， ， ， ，证明 CF 就是第三条中线（即证明 AF ＝F B ）  A 证明：∵∠DAB ＋∠EBA ＜180 ∴AD 和 BE 相交，设交点为 G F, E ， F 连结并延长 CG 交 AB 于 F G 连结 DE 交 CF，于 M ∵DE ∥AB C B D ME MD CM BF  MD ∴ ＝ ＝ ， 即 ＝ AF  BF  CF  AF  ME ME MD MG AF  MD ＝ ＝ ， 即 ＝ BF  AF  GF  BF  ME BF  AF  ∴ ， ， ， ＝ ， ∴AF ＝BF ，AF 是