二、可控子空间的结构 - read.pptVIP

* §2-5 线性时不变系统 可控性和可观测性的几何判别准则 是由加拿大学者Wonham等人发展起来的线性系统状态空间研究方法。 其特点是易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。本节只介绍与可控性和可观测性有关的基本部分, 并且将只在实数域上讨论。本节所讨论的内容是研究系统标准分解的基础。 本节中研究的 n 维线性时不变动态方程为 一、可控状态与可控子空间 定义2－9 对于系统（2－1），如果在t0时刻对取定的初始状态x(t0)=x0，存在某个有限时刻t1 t0和一个容许控制 使得系统在这个控制作用下，从x0出发的轨线在时刻t1到达零状态: ，则称x0是系统在t0时刻的一个可控状态。 （2－31） 不难验证，所有在t0时刻可控状态的全体组成一个线性空间。事实上，若x1、x2是系统的可控状态，则 讨论： 对所有实数 ? 及 ? 仍然是可控状态。注意，零状态在t0时刻是可控的。因此，所有在t0时刻可控状态的全体构成一个线性空间，记为 。 对于线性时不变系统（2－31），它的可控状态不依赖于某个特定时刻，因此可控子空间也就不依赖于某个特定时刻。 定义2-9和在t0时刻可控的定义是有明显的区别的。后者要求x(t0)要在空间中取任意非零状态。 空间A? B 下面讨论线性时不变系统（2－31）的可控子空间结构。 令 表示B的值域空间，它是由矩阵B的列所张成的空间，并且是状态空间X的子空间。引入记号 由于 ， ，… ， 均为X的子空间，故 也是X的子空间，而且是A的不变子空间。 （2－31） 二、可控子空间的结构 此外，根据列空间的定义，有 讨论： p个元素 引理1 （2－33） 证明: 为了证明（2－33）式，只需证明 这里 表示子空间 的正交补空间，而 表示 的核空间。因为 Gram矩阵 是对称矩阵，故 空间A? B的性质 因而若证明了 对上式两边求导数，有 证完。 引理2 A? B 是可控子空间。即在这个子空间中的每一状态都是可控状态，凡是可控状态均在这个子空间中。 证完。 定理2－15 线性时不变系统（2－31）可控的充分必要条件是 把可控子空间的正交补空间A? B? 称为系统的不可控子空间。 凡是不可控状态均在这个子空间中。 在这个子空间中的每一状态都是不可控状态。 因为 ，但它却是一个可控状态。 注意：如下关于A? B? 的概念是错误的： 这可以从如下例子看出： 例2－16 考虑动态方程 因为可控性矩阵 x xc e1 e2 图2－3 因此，它的可控子空间是由向量b=[1 1]T所张成的一维子空间。不可控子空间由向量[?1 1]T所张成。这两个子空间的正交和构成了二维状态空间。状态空间中的任一状态向量可对这两个子空间进行分解，而且分解是唯一的。参看图2－3。分解的两个分量分别为 显然，存在不可控的状态，它 既不属于A? B也不属于A? B? 。 二、不可观测状态与不可观测子空间 定义2－10 若在t0时刻，初态x(t0)引起的零输入响应为零，即当 t t0 ，u(t)=0时有y(t)=0，则称这个状态为t0时刻的不可观测状态。 注意：x(t0)=0是一个不可观测状态。若系统在 t0时刻是可观测的，则只有x(t0)=0是唯一的不可观测状态（参见定义2-6,p.53)。 定义：所有t0时刻不可观测状态的全体构成一个线性空间，它是状态空间的一个子空间，称为t0时刻的不可观测子空间。 1.不可观测子空间的定义 *