排列组合二项定理知识要点.docx

排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重复元素的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.⑷排列数公式： 注意： 规定0! = 1 规定2. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk, 则S的排列个数等于. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 三、组合.1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数公式：⑶两个公式：① ②①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有. ⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：（利用）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用递推）如：.vi.构造二项式. 如：证明：这里构造二项式其中的系数，左边为，而右边四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”.又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为.②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.注：①③区别在于①是确定的座位，有种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）.⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（）注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多