关于李雅普诺夫指数的Jacobi算法.pdfVIP

1997年12月 JOU RN AL O F W U HAN IN ST ITU T E O F CH EM ICAL T ECHN OLO GY D ec. 1997 关于李雅普诺夫指数的J acob i 算法 刘昌伟 (基础教育部) 摘　要　运用J acob i 方法, 能用实验中观察到的数据, 对一动力系统的李雅普诺夫指数做出估 计. 本文从理论上证明了这点. 关键词　动力系统; 李雅普诺夫指数; J acob i 方法 分类号　 175. 2 1 O 0　引　言 众所周知, 李雅普诺夫指数可用来度量一动力系统的邻近轨道在相空间中的平均指数发 散性或收敛性. 正的李氏指数是对邻近轨道指数发散性的一种度量. 而负的李氏指数则是对邻 近轨道指数收敛性的一种度量. 特别是若一动力系统是发散的, 则正的李雅普诺夫指数往往意 味着奇怪吸引子或混沌的存在. 近一段时期, 人们对利用观察数据计算一未知的动力系统的李雅普诺夫指数做了广泛的 [ 1 ] [2 ] 研究. 首先是W o lf 等人 的工作. 随后B r igg s 在其工作中提出利用J acob i 方法计算李雅普 诺夫指数. Zen g 等人[3, 4 ] 则强调利用有限的实验数据计算李氏指数. 这显然更具有实际意义. 鉴于利用实验数据估计李雅普诺夫指数的重要性, 目前更多的工作集中在李雅普诺夫指数的 [ 5 ] [ 6 ] 实际算法上. 如A b arb an el 与其合作者 ,M ccaffreg 与其合作者以及 Gen cay 与D ech er t 等 人的工作. 以上提到的工作其主要特点是, 对一未知的动力系统, 把其观察到的实际数据嵌入到一m 维空间当中去, 然后根据M an e [7, 8 ] 与 T ak en s 的定理利用这些实验数据, 重新建立原未知系统 [9, 10 ] ( ) 的动力学系统. E ckm ann 及其合作者的工作 表明利用重建动力学的线性化 J acob i 方法 , 可估算原未知系统的李雅普诺夫指数. 本文的目的旨在从理论上证明文献[ 9 ] 中利用J acob i 方法估算原未知动力系统的李雅普 诺夫指数的可靠性. 1　李雅普诺夫指数 ( ) 考虑一 维离散动力系统 或迭代系统 n x k + 1 = f (x k ) 　k = 0, 1, … ( 1) 其中 : n → n 是一阶可微的. f R R ( ) 按惯例, 设 1 的李雅普诺夫指数为 , , …, , 且 ≥ ≥ …≥ . 李雅普诺夫指数的 1 2 n 1 2 3 n 一种定义如下: n n ( ) n ( ) 定义1　设 : → 定义了一离散动力系统 1 给定了一点 ∈ , 令 为 在该点 f R R x R Df x f