2012高考数学考前三个月专题复习课件8(1)：系列4选讲.pptVIP

* * 专题八　系列4选讲 §1　几何证明选讲 真题热身 1．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________. 解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°， ∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC， ∴＝，∴BE＝＝＝4. 4 2．(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值． 证明　如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE. 因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径． 从而∠ABD＝∠ACE＝. 所以BD∥CE， 于是＝＝＝. 所以AB∶AC为定值． 考点整合 1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 2．平行截割定理 (平行线分线段成比例定理)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 3．相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 判定定理2：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 4．相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 5．直角三角形的射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项． 6．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．7．圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数． 8．圆内接四边形的性质定理 (1)圆的内接四边形的对角互补． (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 9．圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 10．圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 11．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 12．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 13．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 14．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 分类突破 一、相似三角形与比例线段 例1　如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E. 求证：AE·BF＝2DE·AF. 证明　过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF， ∴DN＝BF. ∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE， ∴＝. 又DN＝BF，∴＝，即AE·BF＝2DE·AF. 归纳拓展　有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果． 变式训练1 如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，过D与BC平行的直线交AB于点E，交AC于F点，∠ACE＝∠B， 求证：AB·CE＝AC·DE. 证明　方法一　∵AB∥CD，∴＝，即＝.① ∵DE∥BC，∴＝，即＝.② 由①②得＝，③ ∵∠FDC＝∠ECF，∠DEC＝∠FEC， ∴△EFC∽△ECD. ∴＝.④ 由③④得＝，即AB·CE＝AC·DE 方法二　∵AB∥CD，DE∥BC， ∴BEDC是平行四边形． ∴DE＝BC. ∵∠ACE＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC， ∴△AEC∽△ACB. ∴＝. ∴＝，即AB·CE＝AC·DE. 二、与圆有关的比例线段 例2　如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G. 求证：(1)△DFE∽△EFA；(2)△EFG∽△CFE. 证明　(1)∵EF∥CB，∴∠DEF＝∠DCB. ∵∠DCB和∠DAB都是弧DB上的圆周角， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF. ∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知：△DFE∽△EFA，∴＝，即EF2＝FA·FD. 由割线定理得FA·FD＝FG·FC. ∴EF2＝FG·FC，即＝， 又∵∠EFG＝∠EFC，∴△EFG∽△CFE. 变式训练2 如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，以