空间向量的数量积 第一课时.docVIP

空间向量的数量积（第一课时） 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法． 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 教学重点、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化． 教学过程： 一、复习 空间向量基本定理及其推论． 二、新课讲解 1．空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有； 若，则称与互相垂直，记作：． 2．向量的模： 设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：． 3．向量的数量积： 已知向量，则 叫做的数量积，记作，即． 已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度． 4．空间向量数量积的性质： （1）． （2）． （3）． 5．空间向量数量积运算律： （1）． （2）（交换律）． （3）（分配律）． 三、例题分析 例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理． 已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且 求证：． 证明：在内作不与重合的任一直线， 在上取非零向量，∵相交， ∴向量不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对，使， ∴，又∵， ∴，∴，∴， 所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得． 例2．已知空间四边形中，，，求证：． 证明：（法一） ． （法二）选取一组基底，设， ∵，∴，即， 同理：，， ∴， ∴，∴，即． 说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明． 例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值． 解：∵， ∴ ∴， 所以，与的夹角的余弦值为． 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！ 四、课堂小结 空间向量数量积的概念和性质． 五、作业补充 已知向量，向量与的夹角都是，且，试求：（1）；（2）；（3）． 1