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第二章 波函数和薛定谔方程 §2-1 波函数的统计解释 §2-2 态叠加原理 §2-3 薛定谔方程 §2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2-5 定态薛定谔方程 §2-6 一维定态的一般性质 §2-7 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化 §2-8 方形势阱 §2-9 线性谐振子 §2-10 势垒贯穿 §2-1 波函数的统计解释 一、微观粒子的波粒二象性 二、玻恩对波函数物理意义的统计解释 三、波函数的归一化 四、波函数的性质 §2-1 波函数的统计解释 一、微观粒子的波粒二象性 1．经典物理学对波粒二象性解释的失败 德布洛意物质波假设的实质是----波粒二象性。 早期两种对波粒二象性的错误解释： 第一种观点：运动电子是某种物质波形成的波包，即由许多不同频率的波构成的一个复波，它可以局限在电子大小的空间（2.8×10-15m）中。计算表明，该波包的寿命大约只有1.6×10-26 s，非常短的时间内电子就变成非定域的了，出现波包发散的困难。 第二种观点：运动电子的波动性对应于由大量电子分布于空间而形成的疏密波，类似于空气振动出现的纵波，即分子的疏密相间而形成的一种分布。这种看法也与实验矛盾，实际上单个电子就具有波动性。 2．波粒二象性的正确解释 经典粒子： （1）经典粒子具有确定的大小、质量和电荷，在空间中占据某个确定的位置。它们与其它物体相互作用时，整体地发生作用。 （2）经典粒子运动时，服从牛顿力学定律，具有确定轨道。 （3）经典粒子的状态用相应物理量（能量、动量等）的值来表征，这些物理量可以连续取值。 经典波： （1）经典的波动是可以在整个空间中传播的周期性扰动。 （2）表征经典波动的物理量是频率和波矢。运动规律服从相应的波动方程。 （3）经典波动满足叠加原理，可以得到干涉和衍射花样。 费曼指出，电子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。它具有经典粒子的第一条属性和经典波的第三条属性，是粒子与波动这一对矛盾的综合体。 正确解释： 二、玻恩对波函数物理意义的统计解释 1926年，薛定谔建立了非相对论的波动方程(薛定谔方程)。不久，玻恩提出了概率波的概念。玻恩认为：不论是德布洛意的物质波，还是薛定谔的波函数都不是什么实在的物理量的波动，只不过是描述粒子在空间的概率分布的概率波而已。此即玻恩对波函数的概率波解释。 子弹实验： 四个双缝实验： 水面波实验： 光波实验： 电子实验： 通过晶体衍射 双缝实验 I大处 到达光子数多 I小处 到达光子数少 I=0 无光子到达 各光子路径、终点均不确定 I 屏上光子数分布作概率性 描述 各电子路径、终点均不确定 对屏上电子数分布作概率性描述 电子到达该处概率大 电子到达该处概率为零 电子到达该处概率小 光栅衍射 电子衍射 光衍射与电子衍射的对比 1926年玻恩指出，波函数代表概率波。 在 周围的小体元 内找到粒子的概率 概率密度 实物粒子是一颗一颗的粒子，具有单粒子特性，但它们的运动不遵从经典力学的规律，而遵从某种波动规律，即遵从将要建立的波动力学—量子力学的规律。 玻恩对波函数的统计解释（量子力学第一个基本假设）：波函数在空间某点的强度 与在该点的单位体积内找到粒子的概率成正比。 三、波函数的归一化 在整个空间找到粒子的总概率 称为归一化条件。满足上式的波函数称为归一化的波函数。 若 没有归一化，则 归一化后波函数 概率密度 称为归一化因子。 四、波函数的性质 1．波函数 一般是复数（以后证明），不表示任何真实物理量。 表示 时刻粒子出现在 处的概率密度。 如果 和 都没有归一化，则 3.归一化的波函数可以含有一任意的相因子 。 有的波函数不能像 归一，如平面波 ，如何归一以后再讲。 2． （ 是常数）与 描写同一状态。