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第三讲 质量的度量 “度量”就是对象（物体或性质）在数值体系上的影射。也就是用一个数值描述这个对象。因此，它必须遵循如“唯一性”之类的规则。这就产生了“度量学”。软件的质量度量也必须符合度量学的一般规律。 在软件的质量要素中有一些可以直接度量。 有一些不能直接度量。 还有一些是不能常规方法加以度量的。 1，度量的数学理论 奥林匹克运动会就是各类度量体系的大展示。比赛决定胜负的因素有： 计时（距、高）类（田径、游泳、自行车等）； 计数类（足球、篮球、曲棍球等）； 计局类（乒乓球、羽毛球等）； 评判类（包括跳水、艺术体操等）； 其他（混合类）（拳击、柔道等）。 因为必须决定胜负，度量是必不可少的。 实现度量的前提是建立科学的度量体系（竞赛规则）。 度量理论对自然科学、社会科学、工程应用都是有用的。 当我们对物体、事件或性质进行度量时我们必然会遇到以下问题： （1）必须对度量的属性有充分的认识和了解。无此不能给予有意义的度量。 （2）我们设计一个度量模型，必须能判断从这个度量模型得到的结果是否正确地反映所需的度量？ （3）当我们陈述这个度量结果时，怎样陈述才是有意义的？绝对的还是相对的？清晰的还是模糊的？二值的还是多值的？ （4）在度量中我们需要哪些度量信息和采用那种统计运算？ 这4方面是逐个深化的。 度量学是一个数学的分支。度量、度量方法、度量含义等都需要有严格的定义和规定。 度量要素 所谓“度量”就是把数值/符号赋予客体或事件 。 度量的要素有： 被度量的物体/事件或它的属性Q； 拟赋予物体/事件或其属性的数值（或符号）N； 使被度量属性与数值相联系的映射M。 定义3-1 一个度量有三个部分组成: 经验性关系系统 Q=（Q，R），其中Q 为被度量客体的集合，R={ R1,R2，……,Rn }是Q集合上的一系列关系；经验关系系统是对度量对象非数值的刻画。 数值关系系统 N=（N，P）， 其中N为数值或符号的集合, P={ P1,P2,……,Pn }是N集合上的一系列关系。 M : Q→ N 。M(x)为客体x在被度量属性方面的度量。值。 经验关系系统的某些性质 就可度量的客体集合而言，至少应该是： 可比的（百米速度的快和慢、铁饼投掷的远和近、系统无故障工作时间的长短）； 可传递的(存在确定的序） 是否存在可加性（如接力赛的快慢、双机冗余系统的正常工作长短）或其他的性质。只有当加运算或其他某一种运算能够反映客观现实时才有意义。（如双机冗余系统可靠度的加运算就没有意义，概率不能算术相加） 表示定理 R(q,……,r) ?P ( M(q),……,M(r))。 对任意 q,……r∈ Q，客体之间的经验性关系等价于各客体影射之间的数值关系。 这个定理对于度量学来说非常重要，不能证明其成立的度量是无意义的。 证明定理的前提是对经验关系的表述。 （许多竞赛规则如果不能以完备、准确、无多义性的形式化地给出，就不能得到公认的度量）。 以评判类体育项目度量为例： 每一名裁判的打分都是一个度量，应满足表示定理（条件是打分规则是完整、准确和无多义性）。那么，综合的评分的优劣顺序和裁判个体评分顺序应该一致。（为防止裁判偏袒，扣除一个最高分和一个最低分后，这样的统计运算方法，如果裁判并没有偏袒，顺序的一致性反而被破坏了，因为所谓扣除，实际上并未扣除。这个方法也许防止了偏袒，但是从度量学角度来看，违反了表示定理）。 标度和标度类型 一经验系统可能通过不同的影射M到同一个数值系统。 华氏和摄氏（还有绝对温度）是关于温度、公里/h和英里（俄里）/h都是关于速度在实数系统上的度量。（除了公制，各国几乎都有自己的长度、面积、体积、重量、日历的计量。） 一经验系统可能通过不同的影射M到不同的数值系统。放大倍数和分贝都是关于电平增衰的度量,但是前者仅在正实数系统，而后者在实数系统。 所谓标度就用满足表示定理的一个“三元组” （Q，N，M）来称谓 。 如果能够找到不只一个三元组符合表示定理，就有几个标度。 如果度量的约束关系越少，标度就越多。 同一种物理属性在不同的领域中可能使用不同的标度。 标度类型是反映一种标度提供度量的特征。符合某一特征的标度被认为是一类的。 与标度有关的重要问题有三个： （1）如何选取数值关系系统 可选取的数值系统有很多：如实数集、整数集、自然数集等，仅就实数而言有在（- ∞， ∞）、 [0， ∞）、[0，1]区间内的实数等系统。原则是： 不悖于经验关系系统的基本性质（如可比性、传递性等）； 便于度量结果的陈述和应用（如音响系统使用增益的度量）； 某些习惯和传统（英制系统）。 有些常用的标度是不尽合理的。 （2）影射函数