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CSE 802. Prepared by Martin Law 数学实验 第2章 飞机如何定价—方程求解 2.1 竞争中的飞机制造业 全球最大的飞机制造商—波音公司自1955年推出的波音707开始，成功地开发了一系列的喷气式客机，如： 波音747是第一架巨型的喷气式飞机； 波音777是第一架长途旅行双发动机的客机； 工程师们正在设计一种全新的喷气飞机—波音7E7，设计目标是成为世界飞机市场最有效和最经济的机型。 1970年，法、德分别成立空中客车公司，1971年西班牙加入，1979年英国加入，25年时间内，由于波音公司竞争性定价策略的压力下，一直亏损。直到1300架空中客车交付使用后，波音公司才正视空中客车的存在，不再继续低价倾销策略，因为那时波音公司账单上首次出现亏损。 握手言和，共同提高飞机价格，共同垄断市场； 问题：讨论某飞机制造公司对一种新型客机最优定价策略的数学模型。 2.2 飞机的定价策略 问题分析 定价策略涉及到诸多因素，这里考虑以下主要因素： 飞机的制造成本、公司的生产能力、飞机的销售数量与价格、竞争对手的行为与市场占有率等 假设与模型 价格记为p，根据实际情况，飞机的几大制造商共同垄断市场，并在价格上形成共联，具体假设如下： 单一型号；为了研究方便，假设只有一种型号飞机； 价格决定总销售量：该型号飞机全球销售量为N， N受到诸多因素的影响，假设其中价格是主要因素。根据市场历史的销售规律和需求曲线，假设该公司销售部门预测得到：N=N (p)=-78p2+655p+125 市场占有率：既然在价格上达成一致，即价格的变化是同步的，因此，不同定价不会影响各自的市场占有率（但是会影响到飞机的市场总占有率），假设市场占有率是常数，记为h。 2.2 飞机的定价策略 飞机生产能力：假设公司具有足够生产能力，能够满足订单要求，销售量记为x。既然可以预测该型号飞机全球销售量，结合公司的市场占有率，可以得到 x=h×N(p)； 制造成本：根据产品分析部门的估计，制造成本为： C(x)=50+1.5x+8x3/4； 利润：假设利润等于销售收入减去成本，利润函数为： R(p)=p x-C(x) 最优定价策略：利润R(p)最大。 由以上分析及假设得到公司飞机最佳定价策略的数学模型如下： Max R(p)= px-C(x)，其中：N(p)=-78p2+655p+125；x=h × N(p); C(x)=50+1.5x+8x3/4，p，x，N≥0。 2.2 飞机的定价策略 模型求解 我们采用图形的方法求解。具体用Matlab 作出目标函数曲线图，得到一个直观的印象：最优定价策略下价格p大致在6到7之间；再用图形放大方法，进一步估计出(如图2-1)：p≈6.3，R≈1780.775。 Matlab程序如下（作函数曲线图的基本程序）： h=0.5; a=0; b=8; n=80; d=(b-a)/n; for i=1:n+1 pr(i)=a+(i-1)*d;p=pr(i); N=-78*p^2+655*p+125; x=h*N; r=p*x; c=50+1.5*x+8*x^(3/4); l(i)=r-c; end plot(pr,l); grid on xlabel(‘价格p’);title(‘利润曲线R(p)’) 2.2 飞机的定价策略 2.2 飞机的定价策略 2.3 方程数值求解方法 计算机技术和数学软件的飞速发展，为一些古老数学问题的解决提供了极大的方便。如利用Matlab的图形功能就能帮助我们判断方程有没有根，确定根的近似位置，例如： 8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0 5x-ex=0 2.3 方程数值求解方法 图形放大法 简单迭代法 加速迭代法 2.3 方程数值求解方法 图形放大法 方程f(x)=0 建立坐标系，画出曲线f(x) ； 观察曲线f(x)与X轴相交的交点； 将其中一个交点进行局部放大； 该交点的横坐标值就是方程的根。 2.3 方程数值求解方法 例：求方程x5+2x2+4=0的一个根 该方程有几个根？欲寻找其中一个实根，并且表达到一定的精度。 2.3 方程数值求解方法 2.3 方程数值求解方法 简单迭代法 引例：3x-ex=0 该方程有多少个根？如何判断？ 如何进行迭代求解？ 方程变形： x=ex/3 0 1/3