集合论与图论第二章.pptVIP

定理2.3.2 设f：X?Y,A?X,B?X,则: (5)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (6)f(A∩B)?f(A)∩f(B); (7)f(A?B)?f(A)?f(B)。 2.3 映射的一般性质 ** 第二章：映射 2.1 函数的一般概念—映射 2.2 抽屉原理 2.3 映射的一般性质 2.4 映射的合成 2.5 逆映射 *2.6 置换 *2.7 二元和n元运算 2.8 集合的特征函数 2.4 映射的合成 定义2.4.1 设f:X?Y,g:Y?Z, 如果?x?X,h(x)=g(f(x))。h:X?Z称为f与g的合成, “映射f与g的合成”h记为g?f,省略中间的“?”，简记为gf 按定义，?x?X,我们有 g?f(x)=gf(x)=g(f(x))。 注意：“f与g的合成”，在书写时写成gf。 y=g(u),u=f(x) 复合函数 y=g(f(x)) 定理2.4.1 设f:X?Y,g:Y?Z,h:Z?W,则： h(gf)=(hg)f 即映射的合成运算满足结合律。 2.4 映射的合成 映射的合成运算满足结合律是合成运算的基本性质。据此h(gf)和(hg)f就可简记为hgf。 定理2.4.2 设f:X?Y,则f?IX=IY?f 设f1:A1?A2, f2:A2?A3,..., fn:An?An+1。 这n个映射的合成就可以记为: fnfn-1...f1, ?x?A1, fnfn-1...f1(x)=fn(fn-1...(f2(f1(x)))...) 2.4 映射的合成 定理2.4.3 设f:X?Y,g:Y?Z,则 (1)如果f与g都是单射的，则gf也是单射的。 (2)如果f与g都是满射的，则gf也是满射的。 (3)如果f与g都是双射的，则gf也是双射的。 2.4 映射的合成 定理2.4.4 设f:X?Y,g:Y?Z,则 (1)如果gf是单射，则f是单射。 (2)如果gf是满射，则g是满射。 (3)如果gf是双射，则f是单射且g是满射。 2.4 映射的合成 　　定理2.4.5 设f与g是X到X的映射，则 Im(f)?Im(g)的充分必要条件是存在一个映射h:X?X,使得f=gh。 证必要性：Im(f)?Im(g)，则f(X)?g(X), 所以,?x?X,存在一个y，使g(y)=f(x) 　　令h:X?X,h定义为?x?X,h(x)=y,y为g-1(f(x))中某个特定元素。 于是gh(x)=g(h(x))=f(x) 即?x?X,f(x)?g(X) 2.4 映射的合成 证充分性 设h:X?X,f=gh, 由于h(X)?X, 即f(X)?g(X), Im(f)?Im(g) 所以g(h(X))?g(X) 2.4 映射的合成 ** ISO9000是一个全球公认的质量管理标准体系。 它对管理的要求的一个最重要的标准就是要求过程可逆。 例如：某单位有甲、乙、丙、丁四个人,他们提供a,b,c,d,e,f,g,八项产品。 首先，这个标准要求按人员可以追索到产品，反过来按产品也应能追索到人，而且这其中的对应关系越简单越好。 2.5 逆映射 这样的一个管理体系其实就是要建立一个从人员到产品的一个合适的映射与逆映射。 逆映射是反函数概念的推广。 例如:X={1,2,3},Y={a,b,c} 定义f:f(1)=a,f(2)=b,f(3)=c 定义g:g(a)=1,g(b)=2,g(c)=3 观察一下gf与fg两个合成映射 gf(1)=g(a)=1,gf(2)=g(b)=2,gf(3)=g(c)=3 fg(a)=f(1)=a,fg(b)=f(2)=b,fg(c)=g(3)=c gf=IX, fg=IY, 2.5 逆映射 按定义f可逆当且仅当fg=IY且gf=IX同时成立，缺一不可。 定义2.5.1 设f:X?Y,如果存在一个映射g:Y?X,使得:fg=IY且gf=IX, 则称映射f是可逆的，而g称为f的逆映射。 2.5 逆映射 定义2.5.2 设f:X?Y,如果存在一个映射g:Y?X,使得:gf=IX,则称映射f是左可逆的，g称为f的左逆映射。 反过来：如果存在一个映射h:Y?X, 使得:fh=IY,则称映射f是右可逆的，h称为f的右逆映射。 2.5 逆映射 * * 第二章：映射 2.1 函数的一般概念—映射 2.2 抽屉原理