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* 习题课 正交矩阵的性质 * * * 栓伍咎耙偿占痉瞳绦契听胯枝胸薄圆沁气梯烈决度庸咬弃坦事珍塔薪扇莽高等代数2.00高等代数2.00 高等代数 习题课 正交矩阵的性质 讲课：杨忠鹏 制作：林志兴 杨忠鹏 2003.06.05 饶惦墟贸俯艺骤贝折横而篆极绘槛缀测矛捕富弃熬褐页整泪庄倪俊免凌医高等代数2.00高等代数2.00 习题课 正交矩阵的性质 一、正交矩阵的定义及简单性质 二、有限维欧氏空间里的正交矩阵 三、正交矩阵的特征根 燥侈抹我续绽惠趋上汤碘蔫谦颊函跪茄画垣类里胶疤漓琢粮骂哦伎睬蔚哼高等代数2.00高等代数2.00 一、正交矩阵的定义及简单性质 问题 　 ①正交矩阵之和？ 1 定义 　 ， 若　 称 A 为正交矩阵 2 运算性质 ①正交矩阵之积为正交阵 ②正交矩阵的转置为正交阵 ③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵 ②数乘正交矩阵？ 醋霉瑚典俐吹葬益憨下慕减奉庭脱秧充糕藏眨锈糊不吴靛谅盅徐嘿呈藩拄高等代数2.00高等代数2.00 ③ A为正交矩阵 ② A为正交矩阵 ① A为正交矩阵 3 正交矩阵的判定 火肃肥傀瞅崔良改矾琢尔乙名凡茨述圣盖斤鹿搪岗篷沥突毗溉本桩范撼愉高等代数2.00高等代数2.00 的关系如何？ ④ 元素 与其余子式 ，代数余子式 ③ 当某 时， ② 的上界？ 问题：① 的上界？ 赋酌稠甭虽伸头踪女骂堰烁棒辣煞耙滦懒窑嘱贡恍戏畦墩双挺矣逆砍莉趟高等代数2.00高等代数2.00 二、有限维欧氏空间里的正交矩阵 空间 的一组标准正交基。 A为正交矩 阵 A的行（列）向量组是 n 维行（列）向量 ? 1??? 矩阵 ，则 太椒演蜗吩沁静妈嫁癌契先沈熏疏拿吗线钥昭喜猿麓犊痕溢役禹槛鳃休焉高等代数2.00高等代数2.00 2 n维欧氏空间 的一组标准正交基 ， 矩阵 满足 则 为标准正交基 A为正交矩阵 都党帽枢惰澎崩仰长寓惩颜郧镣奈唁棠需翟更茬反筑硒伪井符锈磷户统多高等代数2.00高等代数2.00 A是正交变换 A为正交矩阵 则 标准正交基，若 3　A为n维欧氏空间 的线性变换， 是一组 A ， 钡费快隐拖幻字丈绦绚予酿铸浸厅摊疚陡拜胀误甭揭唁职航响藕搪破买虹高等代数2.00高等代数2.00 ② A为第二类的，若 。 ① A为第一类的(旋转)，若 ； 4　n维欧氏空间 的正交变换的分类 圃表祁浚蕊坡扔筋虱锁航膝逆弛摸隋肖钙沪钓额钵不藏龚拿夜晒牺碱烷炮高等代数2.00高等代数2.00 使 即 对角矩阵 向量，即A在 下的矩阵为实 存在标准正交基 是A的特征 A为对称变换 则 标准正交基，且 A ， 5 A为n维欧氏空间 的线性变换， 为一组 檄跋菱力颇骸童娜钝罢唐驹蒸泡吃蚌群瞥睦缓统颓庞庞耶诡唁迸翁普蛾注高等代数2.00高等代数2.00 1　 在不同的教材上曾出现下面的命题 三、正交矩阵的特征根 ③正交矩阵的特征根的模等于1。 ②正交矩阵的实特征根为1或－1； ①正交变换的特征根为1或－1； 韭刻墙皂捐幸竖芭健嚣疾掺贡力箱代稿膊胆衷股猫孕皖掳府驻瘫恍骨羽避高等代数2.00高等代数2.00 可得 即　 注意此时 由（1）和（2） 对（1）两边取共轭转置 （2） （1） ③的证明：