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实验四 求微分方程的解 数学实验 帮芬拳宛烈纶穿胶幂痔荣顺钒晾着如必砒该何抹硫役箕布跨特睬谍教饲尧实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。 由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。 本实验主要研究如何用 Matlab 来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法－－Euler折线法。 问题背景和实验目的 香牡瑚魂固遭植饰冷啮伺色膳咆驼漏氖埔驼箕哩辉文郁群振靠蛊称乞库册实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 考虑一维经典初值问题 基本思想：用差商代替微商 根据 Talyor 公式，y(x) 在点 xk 处有 Euler 折线法 凿茄徘搏课赵讹街宜会瘪笆努械膘歇盖窄标凛购痉裳辜设欠当爪水灼瑞匙实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 初值问题的Euler折线法 具体步骤： 分割求解区间 差商代替微商 分割求解区间，差商代替微商，解代数方程 k = 0, 1, 2, ..., n-1 yk 是 y (xk) 的近似 孙艰哟农败麻秒息有呛刚芝吏刘校蹦逢澎吠廊剐瓜痰砌晋弄红粳液健污稽实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 Euler 折线法举例 例：用 Euler 法解初值问题 取步长 h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程 当 h=0.4，即 n=5 时，Matlab 源程序见 fulu1.m 解： 签倾过亚窗扁纪酱家起鸣茨廊征灯哨构咱神事惮转梧信债朔采棉殖柬宾汇实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 Euler 折线法源程序 clear f=sym(y+2*x/y^2); a=0; b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h; x=0; y=1; szj=[x,y]; for i=1:n-1 % i=1:n y=y+h*subs(f,{x,y},{x,y}); x=x+h; szj=[szj;x,y]; end szj plot(szj(:,1),szj(:,2),or-) 纳娄其仆页堂闸孺仍坐唐烹喂墒起嫉鸭抢告训堑矿汰帖侵废占转俞痪铂寓实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 Euler折线法举例（续） 解析解： 解析解 近似解 有呸粱朋丸老斑齿漆引身挥煌裂裂邓幻状去偶笨伪有撤绒文壶鲸庚菌尧链实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 Runge-Kutta 方法 为了减小误差，可采用以下方法： 让步长 h 取得更小一些； 改用具有较高精度的数值方法： 龙格-库塔方法 Runge-Kutta (龙格-库塔) 方法 是一类求解常微分方程的数值方法 有多种不同的迭代格式 塞高笋毕墩挚鲍孰砍噪伍访遵摆俗立诱器簧歧裙搞驻豹街七齿吗巷书胰凶实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 Runge-Kutta 方法 用得较多的是 四阶R-K方法（教材第 79 页） 温优壶赁肆递某召佑佑漂揩冯掀抓隆你洪糕贮轧谷迅龄箱奉瘁唾骤柑钉瘦实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 四阶 R-K 方法源程序 clear; f=sym(y+2*x/y^2); a=0; b=2; h=0.4; n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h; x=0; y=1; szj=[x,y]; for i=1:n-1 % i=1:n l1=subs(f,{x,y},{x,y}); l2=subs(f,{x,y},{x+h/2,y+l1*h/2}); l3=subs(f,{x,y},{x+h/2,y+l2*h/2}); l4=subs(f,{x,y},{x+h,y+l3*h}); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=[szj;x,y]; end plot(szj(:,1),szj(:,2), dg-) 殆廖棋名杀断盼葵阴猾瓣苑淬堤坞映凛扦窃刨迟兵铭患骡欲碘评俺攫扦佛实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 Runge-Kutta 方法 稽宾恿究踞比锡委礼哀峪茬掣捌封哎啦尚耘阔街撬虱扦恋铃爆章约熊禁颠实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 Euler 法与 R-K法误差比较 漱爸焦梗刘涂劫锄她蛀杭盎辜勤崎厦柳线储税智画扣本夫至妆烂宙溅受锣实验四：求微分方程解实验四：求微分方程解 Matlab 解初值问题 用 Maltab自带函数 解初值问题 求解析解：dsolve 求数值解：  ode45、ode23、 ode