数理方法-第一讲-定解问题.pptVIP

其中T1 T2 α1 α2均为辅助量，只要找出辅助量和已知量h的关系后代入并求解上面的方程组，即可求的h。 由于在小振动情况下有： 解得： 代入上面方程中解得： 例3 一根长 l 两端固定的弦，用手将其中点 横向拨开距离h，然后放手任其振动。写出 弦振动方程和初始条件。 [解] 泛定方程： 初始条件： 例4 杆的纵向振动 当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向 外力 f（t）作用时： 相对伸长： 根据胡克定律： 边界条件： 当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时： 边界条件： 例5 细杆的导热问题 当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法线方向流出时： 边界条件： 当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法线方向流入时： 边界条件： 当一端（x= 0）有热量流q（t）沿端点外法线方向流出时： 边界条件： 当一端（x= 0）有热量流q（t）沿端点外法线方向流入时： 边界条件： 当两端（x= 0，x=l）绝热时： 边界条件： 例6 杆的纵向振动 设杆的一端（x = l）与固定物作弹性连结 该端相对伸长： 杆中弹性力： 弹簧恢复力： 根椐 p = f §1·5 定解问题 达朗贝尔公式 一、定解问题 1· 定解问题 = 泛定方程 + 定解条件 2· 定解问题的适定性 如果一个定解问题的解满足： （1）解的存在性——有解 （2）解的唯一性——只有唯一的解 （3）解的稳定性——对定解条件有连续依赖性 则称这个定解问题是适定的。 怎样解一个定解问题？ 通常必须将泛定方程和定解条件作为整体来解。 极个别可先求泛定方程通解，再由定解条件确 定通解中的待定函数。 二、达朗贝尔公式 求解一维齐次波动方程 1· 通解： 作变量代换 先对 积分： 再对 积分： 通解： 表示两个以速度 a 向左右两方传播的行波 2· 由定解条件确定函数 f1和 f2 （1）无界空间（无限长弦的振动） 初始条件： 将初始条件代入通解： 积分 解方程组 ——达朗贝尔公式 初位移 [例] 设初速 [例] 设初位移 初速度 （2）半无限长弦的振动 1·端点固定 定解问题 采用“奇延拓” 应用无限长弦自由振动的达朗贝尔公式 部分即所求的解。 将延拓后的定解条件代入得： 若初速为零 2·端点自由（半无限长杆的自由振动） 定解问题 采用“偶延拓” 应用无限长杆自由振动的达朗贝尔公式 部分即所求的解。 将延拓后的定解条件代入得： 主讲人：王怀谦 数学物理方法就其本质来说，是数学方法，但它研究的内容和物理问题紧密联系，是理解和探讨物理问题实质必不可少的工具和基础。 物理问题 数学模型 求解、分析、归纳 中学物理(初等数学), 普通物理(高等数学), 理论物理(数学物理方法). 讲授的主要内容：复变函数论、数学物理方程、特殊函数 主要参考书：数学物理方法简明教程，林福民编，北京大学出版，2008 数学物理方法，梁昆淼人民教育出版社，1978 第二篇 数学物理方程 教学主要内容 第一部分 定解问题 学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三维情况。 第二部分 分离变量法 学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和球坐标中的分离变量法。 第三部分 二阶线性常微分方程的级数解法 内容：级数解法的一般方法、积分变换法 第四部分 勒让德多项式和球谐函数 内容：勒让德多项式的来源、定义、性质、生成与递推公式，连带勒让德函数、球谐函数 第五部分 贝塞尔函数 内容：贝塞尔的来源、定义、性质、生成与递推公式，虚宗量贝塞尔函数 第六部分 特殊方程的解法 内容：拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程在不同座标系中的解法 平时成绩(出勤、作业等) ×20% 期末、期中考试成绩×80% 上课要求及课程成绩的计算 课程成绩 II + 上课要求：不迟到或早退；不无故缺席，生病或有事须出具相关证明；不做与上课无关的事情；不影响他人听课。 第一章 数学物理定解问题 基本要求 （1）掌握用数理方程描绘研究物理问题的一 般步骤； （2）掌握三种典型数理方程的推导和建立（ 或导出）数理方程的一般