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创新题与选考题 1．已知，且其中，则关于的值，在以下四个数值： 　　　① ② ③ ④ 其中可以是________．（填上所有可能的序号） 解析：由题意知，从而.此时有 即有于是，排除①和②，应该填③，④． ２.用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和定义，集合，并将集合中的元素按从小到大的顺序数列．与的大小，_____________（用不等号连接） 解：由已知知（Ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，我们可设计如下表格 1 2 3 4 5 ‥‥ 1 ‥‥ ‥‥ 2 ‥‥ 3 ‥‥ ‥‥ 4 ‥‥ ‥‥ 5 ‥‥ ‥‥ 从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大． 且‥‥． ３.已知矩阵的逆矩阵，向量. （1）求矩阵A；　　　　　（2）求A2a的值. 解：(1)矩阵(2)矩阵，所以 另解：矩阵的特征多项式为 ，令，得.当时，得,当时，得.， ∴=. 　 4. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，曲线 与曲线（）交于、两点．求证：． 的直角坐标，曲线的直角坐标， 设，，将这两个方程联立，消去， 得，． ． ∴，． 5.已知直线：（为参数）；　圆：，椭圆：（ 为参数） （１）求直线倾斜角的余弦值与的直角坐标方程; （２）为的圆心，为上的动点，求中点到直线距离的最小值。 解：（１）法一：将直线化为标准式：（为参数）直线倾斜角的余弦值为 　　法二：将直线参数方程化为普通方程得：，得斜率为，则倾斜角的余弦值为 圆的普通方程为 （２）因为，则 　　　直线：　所以M到直线距离 6.已知函数，其定义域为Q。 （１）求函数的最大值 （２）若，总存在，使得 ，求的取值范围。 　　　　所以　当且仅当等号取得． 　（２）由题设的最大值为，所以 如图所示，在中，，是线段上的动点，沿将此 直角三角形折成直二面角． （Ⅰ）当平面时，试确定点的位置； （Ⅱ）当点为中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求的最短长度及此时点的位置． 解：（Ⅰ）由题设平面平面，所以当时，就有平面，即点为斜边高线的垂足，此时； （Ⅱ）当点为中点时，可判定为正三角形，如图，过作于点，则以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系． 所以有；又由相似比可求得 , ,　　　设平面的法向量为 由,得　　令，则得 设直线与平面所成角为，则 （Ⅲ）．设，则，所以， 连结，在中， 则， 　　当，即时，的最小值为，此时点为与的平分线的交点． k m A P B C A P B C