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与导数有关的函数题的统一解法——如何构造F(x)
第33卷第4期2014年4月 数学教学研究 29
与导数有关的函数题的统一解法——如何构造F(x)
贺 平1，谢丽萍2
(1．厦门英才学校361022；2．厦门工商旅游学校361024)
我们知道与导数有关的函数题不仅是各 单调区间，已知含参(一元参数或二元参数)
省市质检、高考年年必考的题目，而且形式层 方程根的个数与范围时反之求某参数的范
出不穷，绝大多数还是区分度颇高的压轴题． 围．题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本
许多中上水平的考生往往处理完第一问后， 质是一道题，本文为说明问题方便，不妨以
对二、三问或是目的性不强的匆忙求导形成 厂(z)≥g(z)的形式说明．
“一堆烂账”、或是眼到手不到写了一堆后发 2程序化构造F(x)的统一模式
现走进“死胡同再出来等等现象不一一列
举，结果不仅得分较低、时间浪费．长此以往，
对科学备考负面影响较大．追其根本原因，很
多考生表现为不知道自己“起步”已经错误，
具体的说：或对某一个函数F(z)求导目的不
若^(z)≥o，令F(z)一点(z)(见例4)．
明确、或对F7(z)的根的情况没有预判意识
和预判、或也知道要构建新函数F(z)但为什
么要新构造F(z)和如何构造F(z)不明确．
的不等式或前一问中的结论得出)(见例3)．
数学教育家波利亚认为：“一个有责任心
4)控元法：含参问题若已给出点的范围，
的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量
由单调性控元消参，构建F(z)(F(z)无参)
的题目，还不如适当选择某些有意义但又不
(见例1)．
太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方
5)分离变量法：若能分离变量愚≥志(z)，
面，在指导学生解题过程中，提高他们的才智
则令F(z)一忌(z)．
与推理能力．”本文结合近年的高考题目，就
3程序化构造F(z)的统一模式的效度
解和导数有关的区分度颇高的函数题，如何
例l(2013全国卷Ⅱ理科压轴了已知函
走好“动一发而系全身”的第一步，谈如何构
数，(z)一F—ln(z+m)．
造F(z)，给出程序化的构建模式，以达到“好
的开始是成功的一半”的目的．
优，并讨论，(z)的单调性；
1和导数有关的函数题概述
(Ⅱ)当研≤2时，证明，(z)o．
和导数有关的区分度颇高的函数题包
解(I)略．
括：讨论含参(一元参数或二元参数)方程根
(Ⅱ)因为优≤2，所以
的个数与范围；含参(一元参数或二元参数)
ln(z+2)≥1n(z+仇)．
的不等式证明、求含参函数的最值、单调区 记 F(z)一r—ln(z+2)，
间；含参(一元参数或二元参数)不等式恒成
F7(z)=酽～i南，
立时、已知含参函数的最值、已知含参函数的
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