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2017-08-10 发布于天津
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Penrose 广义逆矩阵 I(西北工业大学版)

第十三讲 Penrose 广义逆矩阵(I) 一、Penrose 广义逆矩阵的定义及存在性所谓广义，即推广了原有概念或结果。我们知道，逆矩阵概念是针对非奇异的（或称为满秩的）方阵。故这一概念可推广到：（1）奇异方阵；（2 ）非方矩阵。事实上， Penrose 广义逆矩阵涵盖了两种情况。对于满秩方阵A, A 1 存在，且AA 1 ＝A 1 A ＝I 故，当然有  AA-1A A  -1 -1  A AA A  -1 H -1  (AA ) AA  -1 H -1  (A A) A A 这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了Penrose 广义逆的启示。 1. Penrose 定义：设A C mn ，若Z Cnm 且使如下四个等式成立， AZA = A, ZAZ = Z, (AZ) H = AZ , (ZA) H = ZA 则称Z 为A 的Moore-Penrose(广义)逆，记为，A † 。而上述四个等式又依次称为Penrose 方程（i ）,(ii) ,(iii) ,(iv) 。 2. Moore-Penrose 逆的存在性和唯一性定理：任给A C mn ，A † 均存在且唯一。证明：存在性.  A C mn ，均存在酉矩阵U C mm ，V C nn 使 r m n 1      2   0  U H AV = D =   即 A = UDV H   r       0 0   mn 2 2 2 H 其中， ,  , ,  是A A 的全部非零特征值。 1 2 r 1 ~ 此时，令Z ＝V D UH C nm 则 r 1   1  1