微积分基本定理的发展历史在教学上的应用与启发.PDFVIP

“C36N35” — 2012/9/21 — 18:48 — page 46 — #1 數學傳播 36 卷 3 期 民 101年 9 月 微積分基本定理的發展歷史在教學上 的應用與啟發 劉柏宏 壹、 緒論 微積分的發展過程不同於一般微積分教材中先教微分後教積分的次序模式, 而是積分概念 的發展先於微分概念。 積分學的概念溯源 自古希臘探求面積、 體積與弧長的努力, 而微分學則主 要導因於十七世紀計算切線斜率與瞬間速率的需求。 在直覺上, 微分與積分是兩個不同的概念, 一個求切線斜率, 另一個求面積, 很難有交集。 在數學概念上, 微分是一個差商 ∆y/∆x 的極 限, 而積分是漸趨於無限多個的消失量的總和, 兩者關係也不明顯。 而微積分基本定理可以說是 串連微分學與積分學的軸心, 它很明白地顯示出微分與積分兩者互逆的運算本質, 就如同減法 與加法和除法與乘法一般。 只不過歷史上對於微積分基本定理的認識過程相當漫長與迂迴, 因 此數學史家 Howard Eves (Eves, 1983) 指稱微積分基本定理的發現絕對可以列入數學偉大 的時刻之一 (the great moment in mathematics)。 假設 f (x) 是一個在區間 [a, b] 上非負的連續函數, 且曲線 y = f (x) 與 x-軸在 [a, b] 間所圍的面積為 A, 微積分基本定理指出: 若存在一函數 F (x) 使得其導函數 dF (x)/dx 等 於 f (x), 則 A = ∫ b f (x)dx = F (b) − F (a)。 也就是說, 我們只要設法求出 f (x) 之反導函 a 數 F (x), 並計算 F (a) 與 F (b) 之差即可, 而不必計算無限多個無限小量之和。 就計算層面而 言, 微積分基本定理的功能等於是將一種無限的定量過程轉化為定性的技巧問題。 這對當時仍 陷於無窮級數泥淖的數學家而言, 無異是令人驚訝與振奮的結果。 不過, 雖然牛頓與萊布尼茲共 享微積分發明人之桂冠, 他們兩人都不是歷史上第一位明確認知到這優美性質的數學家。 以歷 史探究的後見之明可以發現, 在牛頓與萊布尼茲之前已有幾位數學家掌握到微分與積分兩者互 逆的本質, 甚至已提出某些特定條件下的微積分基本定理。 正如同牛頓最被經常引用的經典名 句: 「若我比別人看得更遠, 那是因為我站在巨人們的肩膀上」。 本文所要探討的就是這些數學巨 46 “C36N35” — 2012/9/21 — 18:48 — page 47 — #2 微積分基本定理的發展歷史在教學上 47 人們的工作, 並從 HPM (History and Pedagogy of Mathematics) 觀點檢視微積分基本定 理的發展過程在微積分教學上的價值。 貳、 前巴羅 (Isaac Barrow) 時期 早在十七世紀初, 義大利數學家托里契里 (Evangelista Torricelli, 1608∼1647) 已經認 識到廣義拋物線的微分與積分運算是互逆的。 托里契里的結果以現今的符號可以表示如下: d ∫ x n d ( xn+1 ) = xn , 其中 n 是 自然數 x dx = dx 0 dx n + 1 於 1655年, 英國數學家沃利斯 (John Wallis, 1616∼1703) 在 《無限算術》(Arithmetica Infini