51原函数与不定积分的概念.docxVIP

5.1 原函数与不定积分的概念前言　　一元函数的积分学由一元函数的不定积分与定积分这两个部分组成．这两个部分是密切相关的．我们先学习第一部分——不定积分．一、原函数与不定积分的概念　　在第三章“导数与微分”中，我们学习过导函数的概念．如果，则称是的导函数，现在我们反过来称是的一个原函数．　　定义5.1：设在区间上，函数可导且满足，或，　　　 　　　 则称是在区间上的一个原函数．　　 例如，在区间上，因为，即是的导数，所以反过来是的一个原函数，因为=，所以也是的一个原函数；又如，因为，，，所以、与都是的原函数．当前讲授　　在第三章“导数与微分”中，讨论的问题是：给定一个函数，求它的导函数，即导数．　　本章讨论相反的问题：给定一个函数，求它的原函数．　　首先明确两个问题：　　（1） 函数具备什么条件时，其原函数一定存在？　　（2） 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少个？　　定理5.1：（原函数存在定理）如果函数在区间上连续，那么在区间上一定有原函数，即一定存在区间上的函数，使得，．　　简单的说就是：连续函数必有原函数．由于初等函数在其定义区间上连续，所以初等函数在其定义区间上一定有原函数．　　定理5.2：设是在区间上的一个原函数，则　　 （1）?也是在区间上的原函数，其中为任意常数；　　 （2）?的任意两个原函数之间，相差一个常数．　　 定理5.2表明，如果函数有一个原函数存在，则必有无穷多个原函数，彼此之间仅相差一个常数．　　 现在引进一个记号来表示的全体原函数．　　定义5.2：函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分，记为．其中称记号称为积分号，为被积函数，为被积表达式，为积分变量．　　由定义5.2和定理5.2可知：记号??表示的全体原函数，只需找出的一个原函数，则?就是的全体原函数，即???．　　例如，因为，是的一个原函数，所以的全体原函数为；又如，因为，是的一个原函数，所以的全体原函数为．　　?课堂练习1?　　 1、是不是3的原函数？试写出3的全体原函数．　　 2、是哪一个函数的原函数？　　 3、是哪一个函数的原函数？　　 4、是否正确？　 　　?解：?1、因为，所以是3的一个原函数．3的全体原函数是，即．一般地有：，为非零常数．　　2、因为，所以是的原函数．　　3、因为，所以是的原函数．　　4、因为，所以不是的原函数，故是错误的．　　典型例题?　　例5.1.1?求?　　解　，?是的一个原函数，故（公式）　　例5.1.2?求?　　解　?　，?为函数的一个原函数，故（公式）　　例如，??．　　　　课堂练习2?　　求下列不定积分：　　　?，，．　　?解：??．　　　　???　　　　?＝?　　 请对照答案，你做对了吗？　　?思考：如何验算自己的求解结果是否正确？　　 再练习两个难一点的题．　　课堂练习3?　　 求下列不定积分并进行验算：，．　　?解　=．　　?＝．　　例5.1.3?求．　　解　∵当时，，，　　 ????? 当时，，??，　　　 　∴当时，是函数的一个原函数，从而（公式）　　例5.1.4　设曲线通过点，且曲线上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍．试求此曲线的方程．　　解　设曲线方程为，则由题设，曲线在点处的斜率为，于是＝，　　又因为曲线过点，代入上式，得，　　从而．于是所求曲线的方程为，即．　　两个重要的关系式?　　∵是的原函数，　　∴?或?；　（1）? （对先积分，后求导或微分）　　∵是的原函数，　　∴?或?．　（2）　（对先求导或微分，后积分）　　这两个关系式告诉我们，微分运算和求不定积分的运算是互逆的，记号和连在一起时，或是抵消，或是抵消后相差一个常数．　　例如，，．二、基本积分公式　　由于不定积分是求导数或求微分的逆运算，所以有一个导数公式，就会有一个相对应的积分公式．由基本初等函数的导数公式可得如下基本积分公式．　　（1）??　　（2）?　特别地：?　　（3）??　　（4）?（有时绝对值符号也可忽略不写）　　（5）?（或）　　（6）?（或）　　（7）??　　（8）??　　（9）??　　（10）??　　（11）??　　（12）??　　（13）??　　（14）??　　以上十四个基本积分公式是求不定积分的基础，其他函数的不定积分往往经过运算变形后，最终都归结为这些公式的运用．　　典型例题?　　例5.1.5　求　　提示?　　解　???．　　例5.1.6　求　　提示?　　解　??＝．　　例5.1.7　求　　提示?　　解　∵?（：这里用到中学所学的公式：，）　　　　 ∴??．三、不定积分的线性运算法则　　定理5.3：设在区间上，函数和的原函数都存在，则在区间上：?　　 （1）?；　　　 （2）?　（为常数，）　　说明：?　　（1）定理给出的两条运算性质可简记为：函数代数和的不定积分等于它们的不定积分的代