概率论与数理统计概率的定义.ppt

§1.2 概率的定义 1. 概率的一般(公理化)定义 例2.设A、B为两个随机事件,且P(A) = p,P(B) = q, P(AB) = r,求下列各事件的概率： §１.３ 古典概型 《概率统计》 下页 结束 返回 一、频率 三、概率的性质 二、概率的统计定义 下页 一、频率 1. 随机事件的发生可能性有大小之分 投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小． Ａ＝{出现点数２}； Ｂ＝{出现偶数点}。 频率的定义：如果在 n 次重复试验中事件A发生了r 次，则 称比值 r/n 为事件A在 n 次试验中发生的频率，记为fn(A)。 即 fn(A)＝ 2. 随机事件的发生频率在某种意义反应了事件发生 的可能性大小 下页 一、频率 大量次的观察发现，事件发生的频率具有稳定性． 3. 频率具有稳定性 例1. 抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律． 实 验 者 总次数 正面次数 fn(H) 蒲 丰 4040 2048 0.5070 K.皮尔逊 12000 6019 0.5016 K.皮尔逊 24000 12012 0.5005 下页 二、概率的统计定义 定义1 在不变的一组条件下，重复进行n次（大量）试验，随机事件A在大量重复试验中发生的频率的稳定值 p 称为随机事件A的概率，记为P(A)，即P(A) = p. 频率的性质： ⑴. 0≤fn (A)≤1; ⑵. fn (Ω) =1 ⑶. 若A1，A2，…，An 是两两互不相容的事件， 则 概率有哪些性质？先考察一下频率的性质 下页 三、概率的一般定义与性质 定义2 设E是随机试验，Ω是它的样本空间。对于E的 每一事件A对应于一个实数P(A),称P(A)为事件A的概率。 若P(A)满足下列三个条件： (1) 0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1; (3) 对于两两互不相容的可数个事件A1，A2，…，有 以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及 可加性。利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。 下页 三、概率的一般定义与性质 性质1 P(Φ)= 0 2. 概率性质 证明：令An=Φ(n=1,2,…)， 则Φ=A1∪A2∪…，且AiAj=Φ (i≠j，i,j=1,2,…) 由可列可加性有 P(Φ)=P(A1∪A2∪…)=P(A1)+ P(A2)+…= P(Φ)+ P(Φ)+… 再由P(Φ)≥0得，P(Φ)=0。 下页 三、概率的一般定义与性质 性质2 若A1, A2, …, An,是两两互不相容的事件，则有 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)。 2. 概率性质 证明：令An+1 =An+2 =…=Φ，即有AiAj=Φ (i≠j，i,j=1,2,…) 由可列可加性有 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) + P(Φ)+… =P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)。 下页 三、概率的一般定义与性质 性质3 设 A 是 A 的对立事件，则 P( A )=1-P(A)。 A A 证明：由于 A U A =Ω， A =Φ， 所以有 P(Ω)=P(A)+P( A )， 2. 概率性质 。 下页 三、概率的一般定义与性质 则 P (B－A) = P (B) － P (A) Ａ Ω Ｂ 证明：由于 B = A ∪(B－A) 且A (B－A) = Φ P(B) = P(A)+ P(B－A) 于是 P(B－A) = P(B)－P(A) 推论１ Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB) A B 推论２ 若 ，则P(B)≥P(A) 性质4 设 A 、 B 为二事件，若 下页 性质5 设任意两个事件A、B，则 P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)。 证明: 由右图1可知 A∪B=A＋(B－AB)且 由概率可加性及性质4得 P(A∪B)=P(A)+P(B－AB)=P(A)+P(B)－P(AB） A(B－AB)=Φ，AB Ａ Ｂ 推论 1 P(A∪B ）≤ P(A)+P(B) 推论2 设随机事件A1，A2，A3 ，则 A1 A2 A3 下页 三、概率的一般定义与性质 推论3 设A1，A2，…，An 是 n 个随机事件，