如何利用线段中点.doc

线段中点（二） 教学目标： 知识与技能：体会如何利用中点的两种基本方法构造基本图形使问题得以解决. 教学重难点：掌握简单的一般图形的中点问题的处理方法. 教学过程： （一）例试着自己解，逐渐形成一种解题能力. 分析：要证的结论AB=CF这两条线段不在同一个三角形中，同时它们所在的两个三角形又不是同类三角形，无法证明它们全等，因此必须移动图形.由于M是BC的中点，利用中点构造中心对称图形或中位线就能移动AB或CF的位置，使它们集中在同一个三角形中,另一方面,由于图中有角平分线与平行线，这两者结合能得到等腰三角形,即到线段相等，于是问题得解. 方法一：如图2，延长EM到N,使NM=EM，连结CN. 易证：△BEM≌△CNM. ∴BE= CN ,∠E＝∠N. 再证：∠E＝∠EFA. 由∠EFA=∠3，∠E＝∠N. 得∠N＝∠3. ∴CN=CF. ∴BE=CF . 说明: 如图3,延长FM到N,使NM=FM，连结BN,类似方法一,也可以证明BE=CF. 方法二: 如图4，连结BF，取BF的中点H, 取EF的中点K，连结HM、KH. ∴HK，MH为中位线， ∴HKBE，MHCF. ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠2＝∠3. ∵ME//AD, ∴∠E＝∠2, ∠EFA=∠3. ∴∠E＝∠EFA. ∵HK BE，MH CF， ∴∠HKF=∠E, ∠EFA=∠1. ∴∠HKF=∠1. ∴HK=MH. ∴BE=CF. 说明: 如图5，连结CE，取CE的中点H, 取EF的中点N，连结NH、MH,类似方法二,也可以证明BE=CF. 例2 (2008北京中考25题改编)请阅读下列材料：问题：如图，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，线段的中点，连结．若探究与的位置关系． 小聪同学的思路是：延长交于点构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．与的位置关系； （2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图1-2），你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明. 设计思想：本题在巩固中点问题通法的同时还想揭示一种学生不易观察到的常见图形：线段给了中点，并且此线段的两端存在平行线，此类题的一般的方法是延长一边与平行线相交，从而构造出中心对称基本图形，如图2. 分析：由于（1）中线段的两端存在平行线，如图3，并且题中已给出了辅助线，方法也就出来了.第二问尽管条件有所改变，但中点依然存在，并且中点两端仍然存在平行线，如图4，于是仍然可以采用第一问的作法，利用中点构造中心对称图形使问题得到解决. 解：（1）线段与的位置关系是； （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化． 提示：如图5，延长交于点，连结． 易证：． ∴,DH=GF. 再证:, ∴， ，， ∴． 说明：这类题型在平行四边形和梯形中出现得最多，因为这类图形本来就存在平行线.例如，如图6，在梯形中，若E为梯形一腰AB的中点，则通常利用此方法（如图7、图8的方法）构造中心对称图形. （由于梯形的中位线不做要求，暂不考虑中位线的方法.） 例3（2007年广州市）如图1-1，已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1-1，求证：BM=DM且BM⊥DM；（2）将图1-1中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图1-2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明. 设计思想：1、巩固例2题型的方法。2、巩固一般图形中点问题的通法. 3、再次巩固特殊图形（直角三角形）中点问题的方法. 分析：图1-1中由于点M为直角三角形斜边EC的中点，显然要利用斜边中线的性质求解.图1-2中尽管△ADE绕点A进行了旋转,但M为EC的中点的条件依然未变,于是仍然可以利用中点还原出中心对称基本图形,使问题得解，另一方面，由于旋转之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决. 证明:（1）如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∵M为公共斜边EC的中点, ∴DM=EC=BM. ∴∠3=∠2,∠6=∠5. ∵∠1=∠2+∠3=2∠2， ∠4=∠5+∠6=2∠5， ∴∠1+∠4=2（∠2+∠5）=90°. ∴ BM=DM且BM⊥DM. （2）成立. 方法一：如图3：延长DM至F，使MF=DM，连结CF，BF，延长ED交AC于N.易证：△EMD≌△CMF, ∴∠DEM=∠FCM. ∴EN∥FC， ∴∠2=∠ACB+∠5=45°+∠5. ∵∠2=90°-∠1=90°-（∠BAC-∠α）=45°+α， ∴∠5=α. ∵AB=BC,