第三章 导数1.pptVIP

第三章.导数与微分 第一节.导数的概念 1.问题的引入 变速直线运动 :已知路程函数S=S(t) 抽象出来就是如下数学问题: 已知f(x)及其定义域内一点x0,求 该极限就称为f(x)在x0处的导数. 2.导数定义: 对y=f(x),若在点x0处极限 存在,则称f(x)在x0处可导,而该极限 值就称为f(x)在x0处的导数(或微商), 简记为 即 例如 注:1). f?(x0)就是在x0处y关于x的变化率; 2).若f(x)在(a,b)内每一点都可导, 则称f(x)在(a,b)内可导. 3.导数的等价形式 4.导函数: 若f(x)在(a,b)内可导,则 即上述对应关系确定了一个新函数 方便起见,该函数y=g(x)我们仍记为 f?(x),称其为f(x)在(a,b)内的导函数,也 简称导数 , 也记为 引入导函数的概念之后,下述记号意义是 显然的. 5.左右导数 定义: 右导数 定理: 注:“f(x)在[a,b]上可导”是指f(x)在(a,b)内可导,且 存在.该定义可类推到[a,b)等区间情况. 6.可导与连续的关系: f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续 注: 1).即可导必连续; 2).上述结论反之不成立; 3). f(x)在x0处不连续?f(x)在x0处不可导(可作为判断函数不可导的依据). 7.导数的几何意义 设y=f(x)在x=x0处的导数存在,考虑曲线 y=f(x)在点M(x0,f(x0))处切线的斜率kM=? 结论:曲线y=f(x)在M(x0,f(x0))处切线的斜率 kM=f?(x0); 从而相应的切线方程为 y-f(x0)= f?(x0)(x- x0) 第二节. 导数的基本公式和法则 一.基本初等函数的导数公式 二.四则运算求导法则 已知f(x)和g(x)均为可导函数,则 注:该性质可推广到多个函数情况,即 若干个可导函数和差的导数等于它们 各自导数的和差. 注:一般地,成立 (f(x)·g(x)·h(x))’= f’(x)g(x)h(x) + f(x)g’(x)h(x)+ f(x)g(x)h’(x). (f1(x)f2(x) ···fn(x))’= f?1(x)f2(x) ···fn(x) + f1(x)f?2(x) ···fn(x)+······+ f1(x)f2(x) ···f?n(x) 三.复合函数求导法则 已知u=?(x),y=f(u).若u=?(x)在x0处可导, 而y=f(u)在u0=?(x0)处可导,则f[?(x)]在x0处 也可导,并且 注:1).一般地,可导函数y=f(u)和u=?(x)的复合函数仍可导,并且 2).上述法则可推广到多个函数复合情况,比如对可导的函数y=f(u),u=?(v),v=?(x),成立 注:复合求导后,中间变量要代回. 四.反函数求导法则 五.隐函数求导问题 (一).函数的表现形式: 函数的显化:由F(x,y)=0解出y=f(x)的过程 . (二).隐函数求导 注:隐函数求导步骤 ①.方程两边同时对x求导; ②.求导过程中y要作为x的函数y=y(x)来求导,即凡是涉及求y的函数u(y)的导数均要进行复合求导,也即为u(y)对y的导数再乘上y’(即u’(y) ·y’); ③.解出y’即得所求隐函数的导数. (三).对数求导法: 注:对数求导法主要用于下列两类函数的导数计算 1).幂指函数u(x)v(x); 2).若干个函数连乘连除形式的函数,即 (四).综合题 作业: 习题三(A) 4, 7, 29, 33 * 0 左导数 x f(x) *