平稳随机过程的谱分析（续二）.docVIP

平稳随机过程的谱分析（续二） 平稳随机过程的谱分解定理： 离散谱的平稳随机过程谱分解： 例1， 例2。 连续谱的平稳随机过程谱分解： 平稳随机过程谱分解，在频率f附近的频率间隔上， 相应的幅度是： 相应的随机信号份量是： 定理，即 其中， 性质1、 性质2、 如果，不相重合。 性质3、 引理1，正交增量过程，增量的平方平均值是非降的， 。 随机过程的频谱是一个正交增量过程，它的功率谱是非降的。 引理2 存在。 随机过程的功率谱是有限的，上述积分存在。 引理3 设ξ(t)是均方连续的平稳过程，且其谱函数F(f)连续， 则存在。 定理的证明 ，如果s1s2s3s4，或s3s4s1s2， ，如果s1＝s2，s3＝s4 平稳随机过程的谱分解定理 一个确定性的时间函数，无论周期的或是非周期的，可以看作无数个简谐振动的叠加，对于随机过程是否有类似的结论。 离散谱的平稳随机过程谱分解 例1 随机过程，其中是复随即变量序列，且，，为任意一列实数。则有， 这个随机过程是平稳的随机过程，且有离散的功率谱，谱线位于处。它是无限个随机振幅的简谐振动的叠加。 例2 随机过程，其中，是均值为零、互不相关的复随机变量序列，即，，，。，， 为任意一列实数。则有， 这个随机过程是平稳的随机过程，且有离散的功率谱，谱线位于处。它是有限个随机振幅的简谐振动的叠加。 离散谱的平稳随机过程可以看作有随机振幅和相位的简谐振动的叠加， 连续谱的平稳随机过程是否可以分解为随机振幅和相位的简谐振动的叠加。 连续谱的平稳随机过程谱分解 谱分解 平稳随机过程谱分解， 在频率f附近的频率间隔上， 随机信号频率份量的幅度是： ，是频率域的增量过程，进一步说是正交增量过程， 不同频率的分量是不相关的； ：， 相同频率分量的均方知对应信号分量的功率， 随机信号的功率谱是：， 随机信号。 相应的随机信号份量是： 合成的信号是： 合成信号的极限是， 定理 设为均方连续均值为零平稳的随机过程，则它可以表示为，其中。有下列性质： 。 ， 如果，不相重合。 ， 随机信号的功率谱是：， 引理1 对于一个具有正交增量的过程必存在着非降函数，使得， 。 证明： 定义 ， 则有， ， 考虑 当 ， 当 ， 当 ， 以上情况都有引理成立。 再考虑， 可证明引理成立。 引理2 对于正交增量的过程，以及相应的有界，则有下述积分存在， 。（证明过程使用柯西准则） 证明： 在频率实轴上取两类分点如下， ， ， 这两类分点是叠加重合在一起，由此得到的分点是， 。 积分 现定义， 其中是某一个。 故， 由于，当时， 根据柯西准则，存在（收敛），并记作 引理3 设ξ(t)是均方连续的平稳过程，且其谱函数F(f)（它是功率谱密度S(f)在上的积分）连续，则存在。（证明过程使用柯西准则） 证明： 设 定义 考虑到， 可以证明， 谱分解定理的证明： 根据引理3，Z(f)具有如下的性质： 存在，且 因此有， 设频率轴上有两点s1，s2且s1s2，则 再考虑下述积分， 如果s1s2s3s4，或s3s4s1s2，则 如果s1＝s2，s3＝s4，则 。 最后证明 ，即 考虑到， 其中， 同理有 因此有， 说明：Z(f)是一个过程。如果ξ(t)是一个高斯过程，则Z(f)是也是一个高斯过程。每一个零均值均方连续地平稳随机过程可以看作许多简谐振动地叠加，这些简谐振动覆盖了整个频率轴，它们地复振幅是dZ(f)。