数值分析.南京电大 36讲 szfx31.doc

三、三阶龙格－库塔方法: 格式: 参数有,共有八个参数, 将f和均在点展开。 利用,按展开式代入(高于的不计)得: 以上展开式代入中比较各次得: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 八个方程真正独立的是六个方程。 八个未知量,六个方程有无穷多组解, 但其截断误差均为均是三阶精度。 例如1: 得: 此方法称为Kutta方法。 例如2: 得: 此方法称为Heun法。 例如:求解微方分程初值问题： 选,在区间上用三阶Kutta方法。 其精确解为: 0.2 1.924096 1.923077 0.001019 0.4 1.725701 1.724138 0.001563 0.6 1.472003 1.4705882 0.001415 0.8 1.220381 1.219512 0.000869 1.0 1.000371 1.00000 0.000371 四、四阶龙格－库塔方法: 显式四阶龙格－库塔方法的一般形式是: 同样用泰勒展开的方法,将f展开到,将 展开到,四个,三个,六个共十三个未知 待定参数,共有十一个独立的方程的二个自由度。 十三个未知量，十一个方程有无穷多组解。 这样就得到格式称为古典龙格－库塔格式，书上称为标准龙格－库塔方法，其格式为： 得到的格式称为库塔法，格式为： 得到的方法称为吉尔方法。 总之，这三种方法的共同点是截断误差为阶数为四阶精度，均称为显式四阶龙格－库塔方法，在从来计算出均要计算四个f的值一般一阶常微分方程初值问题均用四阶龙格－库塔方法来计算，其精度均满足了实际问题的精度要求。 数值例子： 考虑微分方程初值问题：。 解：其精确解为： ，用古典龙格－库塔方法，。 (1)、求，此时 (2)、求，此时 以下计算用表格列出： 误差 1.1 1.20027 1.20027 1.2 1.40182 1.40182 1.3 1.60524 1.60524 1.4 1.81079 1.71079 1.5 2.01856 2.01856 1.6 2.22855 2.22855 1.7 2.44070 2.44070 1.8 2.65497 2.65497 1.9 2.87127 2.87127 2.0 3.08953 3.08953 数学录象（31—33）文字稿 例：初值问题用四阶古典Runge－Kutta方法，。 (1)、求， (2)、求， 0.2 1.1832293 1.1832160 0.4 1.3416803 1.3416408 0.6 1.4832838 1.4832397 0.8 1.6125172 1.6124515 1.0 1.7321463 1.7320508 §14.3 亚当斯方法(Adams) 单步方法和多步方法： 前面讲的方法：欧拉方法、改进欧拉方法、龙格－库塔方法均是单步方法，即在每一步要计算时，只要前面一个值已知的条件下秒可以计算出了， 特点：(1)、可以自成系统进行直接计算，因为初始条件只有一个已知，由可以计算，，，不必借助于其它方法，这种称为单步方法是自开始的。 (2)、如果格式简单如欧拉方法，则只有一阶精度，如果提高精度，则计算很复杂，如Runge－Kutta方法。 (3)、公式的构造推导也很复杂。 多步方法： 利用前面已知计算出来的，这前面计算好的个值来计算，这样自由度的增加来提高格式的精度，这样的方法称为多步方法，利用k个值计算，称为k步方法。 多步方法的特点： (1)、因初始条件只有一个，运用多步方法设法开始，要借助高阶的单步方法来开始，例如，已知用单步的四阶Runge－Kutta方法计算，再计算，再由计算，用单步方法有后运用四阶的四步方法，由计算；由计算；由计算；一直下去均匀 可以用多步方法了，而且始终达到四阶精度。 (2)、多步方法比较简单，只要在这四个点的函数值的线性组合，而且每步中后三个函数值下一步还可使用。 显式Adams方法： 方法构造的思想： Adams方法是多步方法中的某一类，而不就是多步方法，考虑微分方程初值问题， 将微分方程在上积分，下面我们来推导四步显式Adams方法，即若已知来计算，简记，用的拉格朗日插值多项式代替f， 截断部分，用等距步长，上面积分很简单，得到的方法就是显式Adams方法。 以上可以看到该方法的局部截断误差是因而是四阶精度的。 例如： 解：取，首先用四阶Runge－Kutta方法来起步，计算出，，下面不必用Runge－Kutta方法，而开始用四阶Adams方法。 (1)、求 (2)、求 只要补算 (3)、求 只要补算 现列表看用A