数值分析.南京电大 36讲 szfx14.doc

三、拟合问题 1.问题提法 以拟合二次多项式为例,已知一组数据对，i=1,2,...n，求一个2次多项式使得 达到最小，这就是一个最小二乘问题。 2.形成法方程组 利用已知数据求得,,,,,,,然后求解上述三元一次方程组。 如果是m次多项式拟合，一直要求到，右端要求到。  第十二章 数值积分和数值微分 计算定积分可用牛顿—莱布尼兹公式来计算:，其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得。而在实际问题中，大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如概率统计中常用的概率积分，及积分 等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。 §1. 数值积分和代数精确度 一、数值积分公式 在区间[a,b]上的定积分，其某个数值积分公式就是在区间[a,b]内取n+1个点.利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即 右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。其中,xk称为积分节点，Ak称为求积系数。因此，一个数值积分公式关键在于积分节点xk的选取和积分系数Ak的决定，其中Ak与被积函数f(x)无关。 二、积分公式的代数精确度 定义：若积分的数值积分公式对于任意一个次数不高于m次的多项式都精确成立，而存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m。 对于代数精确度为m的求积公式，若f(x)是不超过m次的代数多项式，求积公式是精确成立的。 例如，有积分公式: 求该积分公式的代数精确度。这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积近似地用两个梯形面积来代替。 解：(1)取f(x)=1，定积分,而数值积分，两端相等； (2)取f(x)=x，定积分,而数值积分，两端相等； (3)取，定积分,而数值积分，两端不相等； 只要取f(x)=1，f(x)=x验证了上述求积公式精确成立，就意味着对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；而取时求积公式不精确成立，也就是存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。 例：在如下求积公式中，求积分节点和相应的求积系数使其代数精确度尽可能高。 解：(1). f(x)=1, ,而数值积分为；得到方程； (2). f(x)=x，，而数值积分为；于是得到方程； (3).，，而数值积分为；于是得到方程； (4).，，而数值积分为；于是得到方程； 综合上述方程： 得 得 得 ， 由的对称性，及得 ；代入(2)得 ，又由(1)， 解得: 。于是我们得到积分公式。 再取，有，而数值积分为，两式不相等，求积公式不精确成立了。所以，该积分公式的代数精确度为3。 §2. 等距节点的求积公式 一、Newton—Cotes公式的推导 Newton—Cotes公式是由拉格朗日插值公式而推导出来的一个系列的数值积分公式。 将区间[a,b]等分n等份,记,分点为,k=0,1,...,n,这n+1个节点上的函数值为,从而区间[a,b]上的拉格朗日插值多项式为其中,为插值基本多项式,与函数f(x)无关,k=0,1,...,n。 由于插值结点是等距节点，故插值多项式可以进一步化简:因为， 故，    因， 作积分变量代换，， 当时，t=0；当x=n时，t=n； 故 记，我们称为柯特斯（Cotes）系数，其不仅与函数f(x)无关，而且与积 分区间[a,b]无关。  例:n=1时， , ; n=2时， , , ; n=3时， ， ， ， ； 于是，我们得到n阶Newton—Cotes公式：。这是一类数值积分公式：(1)建立在等距积分节点上，(2)是封闭型的，即两个端点a,b也是积分节点，(3)是由拉格朗日插值公式推导而得到的。 -1 1 X Y f(-1) f(1) f(0)