数值分析.南京电大 36讲 szfx12.doc

要求通过已知的这n个点，而是要求 在整体上“尽量好”的逼近原函数.这时,在每个 已知点上就会有误差，,数据 拟合就是从整体上使误差， 尽 量的小一些。 如果要求达到最小，因误差可 正可负,本来很大的误差可能会正负抵消,这样 的提法不合理.为防止正负抵消,可以要求 达到最小,但是由于绝对值函数不可以 求导，分析起来不方便,求解也很难。为了既能防 止正负抵消,又能便于我们分析、求解，提出如下 问题：求一个低次多项式,使得 达到最小,此问题便是一个数据拟合的最小二乘问 题。 二、直线拟合（一次函数） 1. 问题的提法 通过观测、测量或试验得到某一函数在 的函数值， 即得到n组数据, 如果这些数据在直角坐标系中近似地分布在一条 直线上，我们可以用直线拟合的方法。 问题:已知数据,求一个一 次多项式（实际上，就是求a,b）,使得 达到最小。 注意到中,均是已知的，而a,b是未 知量,是未知量a,b的二元函数,利用高等数 学中求二元函数极小值(最小值)的方法，上述问题 转化为求解下列方程组 2. 正则方程组的获得 由得： 因为,,得到如下的正则方程组 这是个关于a,b的二元一次方程组，称其为最小 二乘问题的正则方程组.解得a,b,便得到最小二 乘问题的拟合函数。 已知10对数据如下表,利用最小二乘法求拟 合曲线。 解：先列表来计算四个： 形成正则方程组 解得， 于是，最小二乘拟合一次函数为。 三、多项式拟合 1. 问题的提法 已知一组数据对,，求一个m次多 项式(m n-1):使得误差的 平方和达到最小,即求待 定参数使得达到 最小。 说明:如果m=n–1,过这n个点可以决定一个n-1 次多项式,此时正好可以过这n个点,时 达到最小，这就成为一个插值问题。 如果mn–1,此时过这n个点的m次多项式 不仅存在,而且有无穷多个,解是不确定的。因而, 对于拟合问题，一般总是针对大量的数据对而选 用低次多项式。 2. 正则方程组的形成 以m=2为例，， 由多元函数的极值条件，可得： 将未知量留在方程的左边，将已知量 移到方程的右边，形成下面的正则方程组 （法方程组）： 这是一个三元一次方程组。 如果利用三次多项式进 行最小二乘拟合，则相应的法方程组为: 这是一个四元一次方程组。 给定数据如下表，，求最小二乘 拟合多项式。 解：设，列表计算 于是，法方程组为 解得：， ，. 故所求的二次多项式为： 。 第四周(10-12讲)作业 P73 练习11.2 (A)1,2,3,4,5 (B)1,2,3,4,6 P80 练习11.3 (A)1,2,3,4 (B)1,3,4,5 P94 习题11 4，5(3),6,7,8,9,10 xn xn-1 …… x3 x2 x1 ((xn) yn yn-1 y3 y2 ((xn-1) ((x3) ((x2) y1 ((x)