数值分析.南京电大 36讲 szfx05.doc

三、解正定矩阵方程组的平方根法 如果方程组的系数矩阵A的对称正定矩阵,可以证明: A可以唯一分解为,其中L是下三角矩阵,是L的转置, 即A= =L。 由矩阵乘法可知,在对角元上;在第列均计算完后得 ;在时, ; 在1,2,…,j-1列均计算完后 。计算是按L的第1列, 第2列,...,第n列的次序进行的。计算流程如下:, (解) (解)  例3.用平方根法求解方程组 解: ,, ,则解得: ,, 解得: , , 平方根法不需要选主元(矩阵正定)约需次乘法的工作量,是高斯消去法的一半(由对称性引起),且具有算法稳定性,但其要进行n次开方运算。 §3.解线性方程组的迭代方法 引言 欲解线性方程组Ax=b,其中a是n×n阶矩阵,x,b均是n维列向量,将其变形为等价的方程组: x=Bx+f,从而建立迭代格式:, 适当选取初始向量,每一步由计算出,从而得到向量序列: 记作。这种方法称为迭代方法。 向量序列收敛的定义:设 ,,如果时,向量的每一个分量均收敛,即 ,.则称向量序列收敛,且称向量c为向量序列的极限向量,记作: 。 例:设 因, , ,所以。 如果由迭代格式计算得到的向量序列收敛,设其极限为,在格式两边取极限 得 ,即是的解,也就是: 是线性方程组的解。 如何建立迭代格式?收敛的条件是什么? 二、雅可比(Jacobi)迭代法 1.格式的构造。设方程组满足,.将方程组变形为 从而得到迭代格式: 一般可以写成: 例2利用雅可比迭代求解方程组 按Jacobi迭代公式得如下迭代公式 取,迭代9次得方程组的精确解为,保留6位有效数字, 得到精确解。 雅可比迭代的矩阵形式。 将上面的雅可比迭代公式写成矩阵形式为: , 其中 , 是雅可比迭代的迭代矩阵。如记:,, A=D+L+U。于是,Ax=b可以转化为(D+L+U)x=b,Dx=b-(L+U)x,x=-D-1(L+U)x+ D-1b。 雅可比迭代的矩阵形式为: , 对应于 , 有 , 。 2 即将A分解成三部分:D是对角线部分,L、U分别是严格下、上三角部分。即