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4、LU分解的紧凑格式
我们不必在高斯消去法过程中产生L和U,而是直接用矩阵A来进行LU分解。下面导出计算公式,因A=LU则
利用矩阵乘法,得
由此可以得到和的计算公式: 先计算U的第一行。在U的第行和L的第列计算出来后再计算L的第j列:
在U的第行和L的第列均计算出来后再计算U的第i行:。计算的过程是:U第1行,L第1列,U第2行,L第2列,……顺序计算。
1.计算流程
2.存储问题和全部流程
U可以存储在A的上三角部分,L可以存储在A的下三角部分,对角元存U的对角元,A的对角元为1而不必存储,如下图:
用LU分解来解线性方程组的全部流程如下:
例1:利用LU分解求解线性方程组
解:第一步,A的LU分解
第二步,求解
解得: ,,
,。
第二步,求解
解得: ,
,
,
。
二、追赶法
1. 三对角矩阵:在实际问题中,经常会遇到如下形式的方程组,
其系数矩阵为
没有写的部分均为零(下同),对角元为,后次对角线上的元素为,前次对角线上的元素为。
我们称矩阵A为三对角矩阵,相应的方程组称三对角方程组。如果对A进行LU分解,则将有如下形式:
并称它们为二对角矩阵。
2.定理3:设上述三对角矩阵A满足
且
则对矩阵A的LU分解能进行,且分解是唯一的。
3.追赶法的计算公式
利用矩阵乘法可得:
从而可以得到:
解得:
解得: ,
4.追赶法的计算流程
,
第一个循环称之为追的过程,相当于消元过程;
第二个循环称之为赶的过程,相当于回代过程。
例2:用追赶法求解方程组
解:追的过程:
,;
,
,;
,,;,,。
赶的过程: ,
,
,
。
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