数值分析.南京电大 36讲 szfx07.doc

A=LU 第一步: 第K步: 第十一章 函数插值与最小二乘拟合 问题的提出 在实际问题中常遇到这样的函数,其在某个区间上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间上有限个离散点上的函数值或者的函数表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。 插值问题的数学提法:已知函数在个点上的函数值,求一个多项式,使其满足,。即要求该多项式的函数曲线要经过上已知的这个点同时在其它上要估计误差。 当时,求一次多项式, 要求通过两点 当时,求二次多项式, 要求通过三点 §1.拉格朗日插值公式 线性插值（一次插值） 1.问题的提法 已知函数在区间的端点上的函数值，求一个一次函数使得。 其几何意义是已知平面上两点, 求一条直线过该已知两点。 2.插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知： 把此式按照和写成两项：， 记， 并称它们为一次插值基函数。 该基函数的特点如下表： 1 0 0 1 从而,此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中,插值基函数与、无关，而由插值结点、所决定。 一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值、。 例1:已知,利用插值一次多项式求的近似值。 解：,,设,,,, 则插值基本多项式为： ,； 于是,拉格朗日型一次插值多项式为：, 故 即由和两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字（精确值）。 二次插值多项式 1.问题的提出 已知函数在点上的函数值 ,。 求一个次数不超过二次的多项式, 使其满足, ,。 其几何意义为:已知平面上的三个点 ， ,求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。 2.插值基本多项式 有三个插值结点,构造三个插值基本多项式，要求满足： (1)基本多项式为二次多项式； (2)它们的函数值满足下表： 1 0 0 0 1 0 0 0 1 因为,故有因子,而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设,又因为，故得：,从而, 。 3.拉格朗日型二次插值多项式 由前述，拉格朗日型二次插值多项式,是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足。 例2:已知： 10 15 20 1 1.1761 1.3010 利用此三值的二次插值多项式求的近似值。 解：设,,,则 故 , 所以 。 利用三个点进行抛物插值得到的的值,与精确值相比,具有3位有效数字，精度提高了。 13 y x … y x y x