数值分析.南京电大 36讲 szfx16.doc

五、Newton—Cotes公式的截断误差 1. 梯形公式的截断误差 函数的一次拉格朗日插值公式为,而梯形公式是由下式得到:。 如记梯形公式的误差为,则 说明:插值公式的误差写成,它是依赖于的函数,而数值积分公式的误差只是两个数值之间的误差,与是无关的,只能记作,而不能记作。 因对于任意一次多项式,有,;对于某个二次多项式,,;故而,梯形公式的代数精确度为1。 2. 复化梯形公式的误差 将区间等分等份,,按上面的公式,每个子区间上梯形公式的误差为,其中。 故复化梯形公式的误差为 由于在上连续,由连续函数的介值定理,存在,使得 注意到, 得到。 于是,其中。 这说明,复化梯形公式的误差量级为, 当时，。 3. 抛物线（辛浦生）公式的误差 如果还用拉格朗日插值公式来估计误差,对于抛物线公式,则只能得到的形式,而得不出的形式。用其它方法可以证明,抛物线公式的误差为 ,。 因对于任意三次多项式,,故抛物线公式的代数精确度为3。 4. 复化辛浦生公式的误差 将区间[a,b]等分等份,为偶数(),,每两个子区间()上用辛浦生公式,其误差为 , 因而,复化辛浦生公式的误差为 由连续函数介值定理,存在, 注意到,得到。 如记,则。 类似地,可以得到复化柯特斯公式的公式为,其中。 例:计算定积分,其中,精确值为。 解：将区间分成8等份，分点为, 则 (1). 时,复化梯形公式, 误差 。 (2). 时,抛物线公式, 误差。 (3). 时,复化梯形公式, , 误差。 (4). 时,复化抛物线公式， , 误差。 (5). 时,复化梯形公式, , 误差。 注:的复化抛物线公式比的复化梯形公式还要精确。 (6). 时,复化辛浦生公式， , 在7位有效数字下,误差。 例:计算定积分。 (1). 如果要求误差小于0.002,用复化梯形公式计算时,须将区间[0,2]分成多少等份？ (2). 要求误差小于0.002,用复化抛物线公式时又应分成多少等份？ (3). 如果要求误差小于0.00002,用复化抛物线公式计算时,须将区间[0,2]分成多少等份？ 解:精确值 。 (1). ,而, 得,即, 要求误差小于0.002,即,故而要求 , 于是得到。 我们取,则。 。 (2). ， 而,得,即， 要求误差小于0.002,即， 故而要求， 得。取,则。 , 误差。 (3). 要求误差， 即,得。取, 则。 误差。 §3. 高斯型求积公式 牛顿—柯特斯型求积公式是封闭型的（区间[a,b]的两端点a, b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿—柯特斯型求积公式的代数精确度只能是(为奇数)或(为偶数)。而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅而且也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。