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说明： (1)第(4)个条件未必初始值必须选取,即选取(在第一种情况下),由以上四种情况的图中，只要选取x0，使由此得到的x0仍然满足定理的条件的[a,b]区间内，自然x1会满足的。
(2)用牛顿法解方程，初始值x0的选取很重要，因有时定的条件不容易验证，初始值x0的选取不同，可能收敛，可能不收敛。由于非线性方程往往有许多根，初始值x0的选取不同可能会由敛到不同的根。下图是不收敛的例子：
注意图中不是同号的。
例：求方程的根，要求ε0.0005。f(x)=2x-3x,f(3)=-10f(4)=40,在[3,4] 内
故选取初始值x0=4，迭代格式为
此时
此时
4、弦截法
一、弦截法的思想：
设方程f(x)=0在区间[x0, x1]内有唯一实根，其解就是曲线与x轴的交点，而弦截法是选取曲线上两点，用过两点的直线（弦）与x轴的交点作为x*的一次近似值。
不妨假定f(x0)0, f(x1)0,，连接P0(x0 , f(x0)), P1(x1 , f(x1))的直线P0 P1(弦)与x轴的交点为x2，用为x*的一次近似，过P0 P1的直线为：
，该直线与x轴交点（令y=0）得：
由此得到，再计算，点。
(1)、如，就是方程的解；
(2)、如，再作弦继续求与x轴的 交点；
(3)、如，再与相邻作弦与x轴 交点为；如此反复计算。
二、弦截法的计算流程：
假定f(x)在 [a,b]上连续, (异号)，不妨设，置
对于n=1,2,... 并计算 如或转出循环； 如，； 否则置继续循环
输出
三、四种情况的讨论：
第一种情况：在[a,b]上恒有，即f(x)单调增加，且向上凹，取
可以证明,,数列{xn}是单调上有界,以x*为上界,因而迭代公式是: xn+1= xn( xn- x0),即曲线的弦总是以为一端。
第二种情况:, f(x)单调减，向上凸，同样置，，数列{xn}是单调递增，以x*为上界,始终是弦的一端。
第三种情况：
置，相应得到的数列均为，数列是单调递减且以x*为下界，始终是弦的一端。
第四种情况：
置，相应得到的数列{xn}具有性质：，数列{xn}是单调递减，且以x*为下界，始终是弦的一端。
总之，在上不变号的情况下：
(1)、如（第一、二种情况）置；
(2)、如（第三、四种情况）置；
计算公式均为：
始终是弦的一端。（而不必讨论了）。
x*
x0
Y
X
X
Y
x0
x*
x0
x2
x4
x1
x3
x5
y=f(x)
X
x0
x*
x1 x2
Y
y=f(x)
f(x)0
Y
x1 x3 x2
x*
x0
X
P0
P2
P1
P1
P2
P0
f(x)0
Y
x1 x2 x3
x*
x0
X
P1
P2
P0
P3
Y
x1 x2 x3
x*
x0
X
P3
P1
P2
P0
Y
x1 x2 x3
x*
x0
X
P3
P1
P2
P0
Y
x3 x2 x1
x*
x0
X
P3
P0
P2
P1
Y
x0 x1 x2
x*
x1
X
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