数值分析.南京电大 36讲 szfx30.doc

例2、。 解：改进欧拉格式为  解yk+1出来比较困难，遇到的是一个二次方程，  (2)求y2 (3)求y3 xk yk y(xk) ek 0.1 1.0959691 1.0954451 0.000464 0.2 1.1840966 1.1832160 0.000881 0.3 1.2662014 1.2649111 0.001290 0.4 1.3433602 1.3416408 0.001719 0.5 1.4164019 1.4142136 0.002188 0.6 1.4759556 1.4832397 0.002716 0.7 1.5525141 1.5491933 0.003321 0.8 1.6164748 1.6124515 0.004023 0.9 1.6781664 1.6733201 0.004746 1.0 1.7378674 1.7320508 0.005817 4、改进欧拉方法的截断误差 假定y(xk)是精确的,由此一步得yk+1。两式相减得： 改进欧拉方法的局部截断误差比欧拉方法高出一次是O(h3),也称之为具有二阶精度的。 §14.2 龙格-库塔法 一、龙格-库塔法的思想 考虑微分方程的初值问题: 如果用均差代替导数用微分中值定理,存在0θ1 , 从而得： 称为y(x)在区间[xk, xk+1]上的平均斜率,记作K,但中值θ是存在而未知的,对平均斜率K,提供一种近似的计算方法,就得到的一种近似公式，或称为微分方程的一种计算格式。 前面用f(xk,yk)作为平均斜率K的近似值就得到欧拉格式：。而平均斜率用 就得到比欧拉格式高一阶精度的格式。而k1=f(xk, yk),k2=f(xk+1, yk+1)= f(xk+1, yk+hk1) 用来作为平均斜率的近似值，就得到了改进欧拉格式的预测—校正方法。 由此启发，能否在二维平面中x∈[xk, xk+1], y∈[yk, yk+1]上多找一些f(x,y)在这些点上的函数值的平均数；来作为平均的近似值，由于自由度的增加，使得的p能够提高，从而达到提高精度的目标，这就是龙格—库塔法的思想。 在以上二维平面的区域上取N个点，得到公式 ，其中Km是二元函数f(x,y)在这N个点上的值。 K1=f(xk , yk), ......... 其中是待定常数，适当选取可以提高精度，此方法在已计yk算好后，依次计算，最后计算yk+1均是直接带入公式计算，不必解方程，因而称为显式龙格-库塔法，当然也有隐式龙格-库塔法。 二、龙格-库塔法 计算公式： 用泰勒展式来得到这些参数应满足的方程，将f(x,y)在(xk , yk)上展开 K1=f(xk , yk)=y’(xk), 而 因y’=f 以上均代入得 比较两边的式子得:四个未知量,三个方程,有无穷多组解，但局部截断误差均为是是二阶精度的。 例:取,则,,就是改进欧拉公式的预测-校正方法。如取，则，则,得二阶龙格—库塔法为： 此格式称为二阶中点格式。 第十周（28-30）作业 P151 练习14.1 (A)1，2，3，5； (B)1，2，3，4，5； P174 习题14 1，2，3 关于yk+1是一元二次方程，求解比较难，我们用预测校正方法来求。 Y X xk xk+1 h yk+1 yk hf(xk) (xk , yk) (xk+1 , yk+1) (xk+1 ,)