§2.5函数的微分08091.pptVIP

思考与练习 3. 6. 设 * 问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. §2.5 函数的微分 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 一、微分的定义 定义: 设函数y=f (x)在某区间I内有定义, x0及x0+?x在区间I内, 如果存在与?x无关的常数A, 使得 ?y = f (x0+?x) – f (x0) = A·?x + o(?x) 成立, 则称函数y=f (x)在点x0处可微, 并且称A·?x为函数y=f (x)在点x0处相应于自变量增量?x的微分, 记作 d y, 即d y = A·?x. 微分d y叫作函数增量?y的线性主部—微分的实质. 由定义知: (1) d y是自变量的改变量?x的线性函数; (2) 当 时，?y–d y=o(?x)是?x的高阶无穷小; (3) 当A?0时,当 时，?y与d y是等价无穷小; 实际上 (4) A是与?x无关的常数, 但与f (x0)和x0有关; (5) 当|?x|很小时, ?y?d y=A·?x(线性主部). 二、可微的条件 定理: 函数f (x)在点x0处可微的充分必要条件是函数f (x)在点x0处可导, 且d y = f ?(x0)·?x. 定理表明: 可导?可微, 且f ?(x0)=A. 在f ?(x0)?0的条件下, 当?x→0时, ?y～d y, 且?y–d y既是?x的高阶无穷小, 又是d y的高阶无穷小. 因此d y也是?y的主要部分. 由于自变量对自己的导数等于1, 所以通常把自变量的增量?x称为自变量的微分, 记作d x, 即d x=?x. 所以, dy=f ?(x)dx. 从而 即函数的微分d y与自变量的微分d x之商就等于该函数的导数, 因此导数也叫做“微商”. 三、微分的几何意义 M T )? P N 则?y是曲线C上关于点M的纵坐标的增量, 当|?x|很小时, 在点M的附近用切线的增量近似代替曲线的增量. 设曲线C的方程为y=f (x), 曲线C上的点M处有切线. M点处的切线对应点M的纵坐标的增量. 而d y是曲线C在 四、微分的求法 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 2. 函数和、差、积、商的微分法则 3. 复合函数的微分法则 结论: 无论x是自变量还是中间变量, 函数 y=f (x)的微分形式总有: 一阶微分形式 的不变性 例3: 例4: 例5: 例6: 例1: 例2: 1. 函数的近似计算 （3）计算 附近的函数值 （2）计算增量的函数值 即 (4) 在(3)式中取 ,且x 接近0,于是得 五、微分在近似计算中的应用 （1）计算增量 使用原则: 应用(4)式可得以下公式(下面都假定 是较小的数值) 举例 例 计算 的近似值 六、小结 ★ 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 导数的概念 函数的增量问题 微分的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. ★ 导数与微分的联系: 可导?可微 1. 函数f (x)在点x0处的导数是一个数值f ?(x0); 而函数f (x)在点x0处的微分dy=f ?(x0)·?x=f ?(x0)·(x–x0)是?x或x的一个线性函数. 2. 从几何意义上看,导数f ?(x0)是曲线 y=f (x)在点M(x0,f(x0))处切线的斜率; 而微分dy=f ?(x0)·?x是曲线 y=f (x)在点M(x0,f(x0))处切线上纵坐标的增量. ★ 导数与微分的区别: 1. 设 求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 由方程 确定, 解: 方程两边求微分, 得 当 时 由上式得 求 7. 已知 求 已知 求 8. *