数值分析.南京电大 36讲 szfx01.docVIP

序言 什么是计算数学(数值分析) 数值分析课的地位: 计算数学是数学的一个分支。 解决科学技术和工程问题的步骤: 实际问题(建立数学模型(研究计算方法(编程上机计算。 例如:⑴ 某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。 ⑵ 为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。 ⑶ 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解,然后再 整体平滑。 ⑷ 编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。 数值分析课的主要内容: 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理,转化为四则运算而形成了的一个小型论软件包)。 数值代数:求解线性和非线性方程的解法,分直接方法和间接 方法。 2.插值和数值逼近。 3.数值微分和数值积分。 4.常微分方程和偏微分方程数值解法。 对算法所要考虑的问题: 计算速度。 例如,求解一个20阶线性方程组,用加减消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法则要进行 次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.数值稳定性。 在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。 例: 一元二次方程x2-(109+1)x+109=0其精确解为 X1=109, X2=1。 如用求根公式:X1,2 =和字长为8位的计算器求解,有 ,及;则 ,。的值与精确解有天壤之别。若= 。因此,算法的选用很重要。 数值分析中的误差 §1.误差的来源和基本概念 误差的来源 模型误差: 在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化”,这就带来了与实际问题的误差。 测量误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。 截断误差: 在设计算法时,必然要近似处理,寻求一些简化。 舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。 数值分析主要讨论截断误差。测量误差看作初始的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差的影响,但这儿不讨论模型误差。 误差的基本概念 误差和误差限 是精确值, 是它的一个近似值,称是近似值的绝对误差。简称误差。 误差是有量纲的,可正可负。 误差是无法计算的,但可以估计出它的一个上界。即,称是近似值的误差限,即。 2.相对误差和相对误差限 称为近似值的相对误差,记作。相对误差是个相对数,是无量纲的,也可正可负。 相对误差的估计 ,称为相对误差限,即。 实际中,是未知的,用来代替。两者的差为: 有效数字 定义: 如果近似值x的误差限是某一数位的半个单位,就说准确到该位,从这一位起向右到前面第一个非零的数字为止,所有的数字为x的有效数字。 例,3.14有三位有效数字,误差限;3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。0.003529是四位有效数字,0六位有效数字,前者的误差限为,后者为 ,写成标准的误差为, 。 当,为数字, 。其中,有效数字的个数是l,即是有效的。则 。 定理1:设近似值,有n位有效数字,。则其相对误差限。 证明: ,故 。 。 此定理说明,相对误差是由有效数字所决定。 定理2:设近似值的相对误差限不大于,则它至少有n位有效数字。 例2:重力加速度常数。, ,两者均有三位有效数字。,,后者的绝对误差大。而由定理2,相对误差分别为和,两者相等,与量纲的选取无关。 例3:用四位浮点数计算。 解: 结果只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相对误差扩大。这是由两个比较接近的数相减造成的。 结果仍然有四位有效数字。这说明了算法设计的重要性。 §2.数值计算中的若干准则 数值计算中误差的传播 对函数的计算: 设是的近似值。 ,如果是可微的, ,故 ,忽略 高阶项后可以得。 对多元函数,若分别是的近似值,则 3.四则运算中误差的传播 四则运算误差限的公式: ; ; 。 这是因为, 故